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Hola, ¿me podéis ayudar con este ejercicio de derivadas?

a)Halla la ecuación de la recta tangente  a la curva para:

y=In[√x²+4  - x²]

en el punto de abscisas 0.

b) Para f(x)= (e^x - e^-x)/(e^x + e^-x)
 
calcula : D[f(0)]

Muchas gracias de antemano.

a) Supongo que la función In[] es la parte entera.

Dado que esta función no es continua, no tiene una derivada única en todo R. Ahora bien, hay que escoger un dominio para diferenciarla. Te dejo la gráfica de la función que pones:

y=In[√x²+4  - x²]



Como podrás notar, en cada intérvalo en que la función está definida, se hace constante, por lo que su derivada es cero.

Ahora bien, dado que la derivada nos da la pendiente de la recta tangente, entonces m=0. De esta forma, cuando x=0 y=0, así que, por la forma punto pendiente, tenemos que la ecuación de la recta tangente está dada por

y-0=0(x-0) → y=0

b) f(x)= (e^x - e^-x)/(e^x + e^-x)

Hay dos formas de hacerlo: una es como un cociente y la otra es como un producto. Si lo hacemos como cociente,  y teniendo en cuenta que si

h(x)=f(x)/g(x) → h'(x)= [f´(x)g(x)-f(x)g'(x)]/[g(x)]²

con f(x)=(e^x - e^-x)  y g(x)=(e^x + e^-x)

Tenemos que:

f '(x)= d/dx(e^x - e^-x)= (e^x + e^-x)

g'(x)=d/dx (e^x + e^-x)=(e^x - e^-x)

Así:

d/dx [(e^x - e^-x)/(e^x + e^-x)]= [ (e^x + e^-x)(e^x + e^-x)
-(e^x - e^-x)(e^x - e^-x)]/(e^x + e^-x)²

Que con un poco de algebra toma la forma:

4e^2x/(e^2x+1)²

Evaluando en x=0


d/dx [(e^x - e^-x)/(e^x + e^-x)]_x=0= 4(1)/(1+1)²=1

Éxitos!!!...

Muchas gracias, ahora lo entiendo.