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me ayudarian a resolver el siguiente problema en el tema de aplicacion de la derivada:

1.- El radio de una esfera aumenta a razon de 3 cm/segundo.
¿qué tan rapido aumenta el volumen cuando la superficie es de 10 cm²


2.- Una bomba infla un globo introduciendo aire a razon de 4 cm³/segundo
¿qué tan rapido aumenta el diametro del globo cuando el radio es de 5 cm?

Hola,

R(t) = 3·t  cm   =>    dr/dt = 3 cm/s


S(r) = 4·π·r²       (superficie esfera)

V(r) = (4/3)·π·r³     =>    dV/dr = 4·π·r² = S(r)


Aplicando la regla de la cadena en derivación:

dV/dt = (dV/dr)·(dr/dt) = 3·S(r) = 3 cm/s · 10 cm² = 30 cm³/s


Nota: Completa tu perfil, por favor.

dV/dt = 4  cm³/s

Como el diámetro y el radio son proporcionales (D = 2·r) la rapidez del cambio de uno y otro son iguales.

V = (4/3)·π·r³

r³ = (3/4π)·V    =>   3·r²·dr = (3/4π)·dV    =>      dr/dV = 1/(4π·r²)  =>  Cuando r=5:

 dr/dV = 1/(4π·r²) = 1/(4π·5²) = 1/(100π)


dr/dt = (dr/dV)·(dV/dt) = 1/(100π) · 4 = 4/(100π) = 1/25π cm/s

Por favor, completa tu perfil. Gracias.