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Deberías haber leido antes el siguiente Tema relativo a funciones (o quizás vengas de allí):
Tema: ¿Qué son las funciones matemáticas? Dominio, continuidad.
Si lo has hecho ya estamos preparados para adentrarnos en el fabuloso mundo de las derivadas, de las pendientes.

Si vas por una carretera inclinada, ¿cómo podríamos definir la inclinación que tiene ésta?

- Dando el ángulo que forma con la horizontal
- midiendo lo que me elevo después de recorrer 100 m por la carretera.
- midiendo lo que me elevo después de haber recorrido 100 en la proyección de la carretera sobre la horizontal.



Se ha tomado la tercera opción en matemáticas.

Las gráficas de las funciones se parecen a las carreteras en el sentido de que suben, bajan, se inclinan más o menos etc.

Aquí tenemos un vocabulario propio:
Si se elevan decimos que es creciente
Si descienden decimos que es decreciente

La cuestión es poder saber dónde es creciente o decreciente una función sin tener delante su gráfica (grafo), sino con la expresión analítica de ésta (fórmula). A esto nos ayudará las derivadas.



Imagínate que tomamos un punto de una parábola (x=a) y queremos saber la pendiente que tiene asociada ese punto. No podemos tomar el otro punto 100 m más allá porque en ese intervalo tan grande le pendiente de la función cambia. Pero podemos medir lo que nos elevamos al movernos un "poquito" (h) hacia la derecha y hacia la izquierda. Digamos h → 0. Calculemos:

f(x)=x²

f(a)=a²

f(a+h)=(a+h)²=a²+2·a·h+h²

Teniendo en cuenta que h→0 podemos despreciar el término h² ya que h²→0 quedándonos:
f(a+h)=(a+h)²=a²+2·a·h

¿Cuánto nos hemos elevado después de recorrer h m desde el punto a. Restemos:

∆f(a)=f(a+h)-f(a)=a²+2·a·h-a²=2·a·h

Para calcular la pendiente hay que dividir lo que nos elevamos entre lo que recorremos en horizontal:

pendiente (x=a) = 2·a·h/h = 2·a

¡FANTÁSTICO! Podemos saber la pendiente de una parábola (u otra función) en cualquier punto de ella y el cálculo cabe en un mensaje de un foro.

Habría que repetise el cálculo para f(a-h), restando h para hacerlo, también, por la izquierda. Sólamente diremos que es derivable en x=a si ambos cálculos coinciden en su valor. En este caso la función tiene pendiente en ese punto. Su valor es el de los límites derecho e izquierdo, que han coincidido.

Saquémosle partido. La derivada, que es una función porque la pendiente depende de la x, de la parábola la podemos escribir:

f'(x)=2·x

En el vértice de la parábola, x=0, vemos que no hay pendiente ya que 2·0 es cero. Lógico.
A medida que aumentamos la x (desde cero a mayores) observamos que la pendiente y el valor de la función aumentan. Es por tanto creciente (su derivada es positiva). Al aumentar la x aumenta la f(x).

Sin embargo si nos movemos hacia la izquierda del cero, observamos que al disminuir la x la f(x) aumenta y su pendiente se hace negativa (al avanzar por la carretera no subimos sino que bajamos). Así pues la función es, en este trozo (x<0), decreciente, con derivadas y/o pendientes negativas.

Esto quiere decir que si venimos de izquierda a derechas, primero bajamos la cuesta (pendiente negativa), pasamos por un llano momentáneo (pendiente cero en x=0) y luego empezamos a subir. A esto se la llama MÍNIMO (relativo) de la función. En un intervalo "pequeño" del cero, este es el valor más bajo que toma la función.