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Estudiar los máximos y mínimos y la concavidad de la función:


      x⁴ - 2x²
y = ---------
       x²-1

Hola,

     x⁴ - 2x²       x²·(x²-2)
y = --------- = ------------
       x²-1             x²-1

Tomamos la primera forma para derivar el cociente:

     (x²-1)·(4x³ - 4x) - 2x·(x⁴ - 2x²)
y' = -------------------------------- =
                   (x²-1)²

   4x⁵ - 4x³ - 4x³ + 4x - 2x⁵ + 4x³            2x⁵ - 4x³ + 4x         2x·(x⁴ - 2x² + 2)
= ----------------------------------- = ------------------- =  ------------------
                  (x²-1)²                                   (x²-1)²                     (x²-1)²

y' = 0  =>   x = 0       ( la ecuación x⁴ - 2x² + 2 = 0  no tiene solución en R y es siempre > 0)


Para estudir el crecimiento incluimos las asíntotas verticales:

y     Dec          Dec          Crec            Crec
   ------  -1 --------- 0 --------- 1 ------------
y'    < 0          < 0             > 0             > 0

En x= 0 hay mínimo   (0,0)  (en la función de pone la x=0 para ver la y)

Vamos a por la segunda serivada:


       2x⁵ - 4x³ + 4x
y' = -------------------
           (x²-1)²

        (x²-1)²·(10x⁴ - 12x² + 4) - 4·x·(x²-1)·(2x⁵ - 4x³ + 4x)
y'' = ------------------------------------------------------- =  (simplificamos el (x² - 1)
                                    (x²-1)⁴

     (x²-1)·(10x⁴ - 12x² + 4) - 4·x·(2x⁵ - 4x³ + 4x)     
= -------------------------------------------------- =
                                (x²-1)³

     2·(x⁶ - 3x⁴ - 2)
= --------------------
           (x²-1)³

El estudio de los ceros de la segunda derivada es muy difícil ya que las soluciones son (hecho con el Derive). No se puede hacer por Riffini por no tener raíces enteras.

x1 = ³√(2 + √3) + 1 ± ³√(2 - √3)