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Hola. Me podrían ayudar por favor a resolver el siguiente problema mediante la aplicación de las derivadas denominada razón de cambio (relación entre 2 variables que cambian respecto al tiempo). Gracias.

De un tanque de forma cónica de 3 m de radio y 4 m de altura se extrae agua a razón constante de 0,25 m³ por minuto. Determinar la rapidez con que desciende el nivel del agua cuando su profundidad en el tanque es de 1 m.

De un tanque de forma cónica de 3 m de radio y 4 m de altura se extrae agua a razón constante de 0,25 m³ por minuto. Determinar la rapidez con que desciende el nivel del agua cuando su profundidad en el tanque es de 1 m.



Vc = π·r²·h/3  (volumen del cono)

Vo es el volumen inicial = π·3²·4/3 = 12·π

Pasado un tiempo 't', se abrá vaciado el cono superior de altura 4-h y quedará la parte inferior. El volumen que queda es:

V = Vo - Vc = 12·π - π·r²·(4-h)/3    (r es el radio de la base del cono. Ver figura)

Antes de empezar hay que buscar la relación entre r y h:

tg α = (R-r)/h = 3/4    =>   r = R - 3·h/4      Sustituimos en la anterior ecuación:

V = 12·π - π·r²·(4-h)/3 = 12·π - π·(R - 3·h/4)²·(4-h)/3 = 12·π - (π/(3·16))·(4R - 3·h)²·(4-h) =

= 12·π - (π/48)·(4R - 3·h)²·(4-h) =

= 12·π - (π/48)·(16R² + 9·h² - 24·R·h)·(4-h) =

12·π - (π/48)·(64R² + 36·h² - 96·R·h - 16R²·h - 9·h³ + 24·R·h²) =

Como R = 3 m sustituyendo:

= 12·π - (π/48)·(576 + 36·h² - 288·h - 144·h - 9·h³ + 72·h²) =

= 12·π - (π/48)·(- 9·h³ + 108·h² - 432·h + 576)

Ya tenemos el V de agua sólo en función de h (profundidad). La velocidad de extracción es:

dV/dt = -0,25 m³ = (dV/dh)·(dh/dt)     (Regla de la cadena de derivación)

La velocidad a la que baja la superficie del depósito es dh/dt. Para conocer esto debemos conocer la dV/dh:

dV/dh = - (π/48)·(- 27·h² + 216·h - 432)

Como lo pide para h = 1 m

(dV/dh)(1 m) = - (π/48)·(- 27 + 216 - 432) = - (π/48)·(-243) = 243·π/48 = 15,904 m²

Entonces:

(dh/dt) = (dV/dt) / (dV/dh) = -0,25 / (243·π/48) = - 0,25·48/(π·243) = -0.0157 m/s (-1,57 cm/min) El menos indica que al aumentar t, disminuye h (decreciente)

Revisar cálculos.

Muchas gracias.
La verdad entendí el razonamiento para resolver el problema y veo que las operaciones están correctas, pero el libro da como respuesta al problema 0,047 m/s. No sé que se pueda hacer en este caso.

Así sale más corto (creía que no) pero sale lo mismo:

V = π·r²·h/3

r = R - 3·h/4

V = 12π - (π/3)·(R - 3·h/4)²·(4-h)

dV/dt = (dV/dh)·(dh/dt)

Aplicando la regla del producto de derivadas:

dV/dh = -(π/3)·[-6/4·(R - 3·h/4)·(4-h) - (R - 3·h/4)²]

Sustituyendo R=3 m y h=1 m

dV/dh = -(π/3)·[-3/2·(3 - 3/4)·3 - (3 - 3/4)²] = 15,90 m²

dh/dt = (dV/dt) / (dV/dh) = -0,25/15,90 = -0,0157 m/s

Por la cuenta de la 'vieja'. Vamos a calcular la diferencia de volumen cuando h = 1,01 m y h = 1 m

V(h) = 12π - (π/3)·(R - 3·h/4)²·(4-h)

V(1 m) = 12π - (π/3)·(3 - 3/4)²·(4-1) = 21,794799

V(1,01 m) = 12π - (π/3)·(3 - 3·1,01/4)²·(4-1,01) = 21,95331260

∆V = 21,95331260-21,794799 = 0.158514

El cambio de volumen respecto a la altura (en una aproximación) es:

∆V/∆h = 0,158514/0,01 = 15,8514 m²

∆V/∆t = (∆V/∆h)·(∆h/∆t)

∆h/∆t = (∆V/∆t) / (∆V/∆h)  = -0,25/15,8514 = -0,0157 m/s



Ya no se me ocurre nada más.