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Me he encontrado con nuevos ejercicios que, nuevamente me quedo parado a medio camino:

1) halle dos numeros reales y positivos tales que su suma sea 50 y su producto sea maximo.

2)encuentre la maxima area posible de un rectangulo cuya diagonal tiene una longitud de 16.

3) dos ciudades A y B distan 4 y 7 kilometros respectivamente de una linea ferrocarril rectilinea.
sabiendo que la distancia entre ambas ciudades es de 5 kilometros. halle el lugar de la linea ferrea donde debe situarse una estacion, para que la longitud de las carreteras a construir sea minima.

ya pude resolver el primer ejercicios...gracias de todas maneras

Sea 'x' e 'y' los lados del rectágulo y 'd' la diagonal (conocida).

x² + y² = d² => y = √(d² - x²)

A = x·y = x·√(d² - x²) = √(d²x² - x⁴)

　　　　　　　2·d²·x - 4·x³
dA/dx = -------------------- = 0
　　　　　2·√(d²x² - x⁴)

2·d²·x - 4·x³ = 2·x·(d² - 2·x²) = 0

Solución:

x = 0 (no vale)

d² - 2·x² = 0 => x = d/√2

Luego y = √(d² - x²) = √(d² - d²/2) = √(d²/2) = d/√2

Es un cuadrado de lado d/√2

b² + 3² = 5² => b = √16 = 4

La ciudad B está en el punto (4,7)

Distancia de A a 'x':

√(4² + x²) = √(16 + x²)

Distancia de B a 'x':

√(b-x)² + 7² = √[(4-x)² + 49]

Suma de distancia:

D = √(16 + x²) + √[(4-x)² + 49]　　　　[*1]

　　　　　　　　　2x　　　　　　　2(4-x)
dD/dx = 0 = ------------- - ---------------
　　　　　　　2√(16 + x²)　　2√[(4-x)² + 49]

x·√[(4-x)² + 49] - (4-x)·√(16 + x²) = 0

x²·[(4-x)² + 49] - (4-x)²·(16 + x²) = 0

x²·(4-x)² + 49·x² -  (4-x)²·(16 + x²) = 0

(4-x)²·(x² - (16 + x²)) + 49x² = 0

-16·(4-x)² + 49x² = 0

Resolviendo x = 16/11

Sustituye en [*1] el valor de la 'x' y obtendrás la distancia.

x + y = 50

P = x·y

P = x·(50 - x) = 50x - x²

dP/dx = 0 = 50 -2x => x = 25 => y = 25

Para que le sirva a otros usuarios.

no sabe lo agradecido que estoy por la inmensa ayuda que me ha brindado....he empezado a entender con mayor claridad todos estos ejericios...todo gracias a ud. cuidese mucho una vez más gracias.

　　　　　　　2·d²·x - 4·x³
dA/dx = -------------------- = 0
　　　　　2·√(d²x² - x⁴)

esta es la parte que no entiendo, tenemos que sacar la derivada de la raíz:

2dx² + 2xd²- 4x³
−−−−−−−−−−−−− = 0
2·√(d²x² - x⁴)

se supone que nos encontramos con la derivada de un producto adentro de la raíz. no sería...
2dx² + 2xd². y a ud le dió 2·d²·x. ante todo muchas gracias

'd' es la diagonal y vale 16. Es un número. Luego la derivada de

2·d²·x - 4·x³, sabiendo que:

2d² = 64

2·d²·x - 4·x³ = 64·x - 4·x³ => su derivada es 64 - 12·x² (2d² - 12·x²)


'd' es una cte conocida (es un número). Lo hago con la letra porque me es más cómodo a la hora de operar. Es cuestión de costumbre.