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Otro de gradientes.

Hallar ∇Φ, es decir, hallar el gradΦ. Siendo Φ:

a) Φ = ln(r)

b) Φ = 1/r

Me pasaron este ejercicio ya resuelto, pero no entiendo por que de r sale √x²+y²+z²¯


Pongo el procedimiento del apartado A:

Φ = ln |r| = ln √x²+y²+z²¯

∇Φ = (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z)[ln (/√x²+y²+z²¯)]

Desarollando las parciales...

∇Φ = (x, y, z)/(x²+y²+z²) = r/|r|²


Entonces, mi cuestion es la siguiente, cuando habla en este ejercicio de r, se refiere al vector de posición? porque si no no entiendo el por qué!  

Saludoss

Pues si consideramos r=(x,y,z) y llrll=√(x²+y²+z²)

a) Entonces Φ(x,y,z)= ln llrll= ln√(x²+y²+z²)

Sacando las derivadas parciales tenemos:

∂Φ/∂x= 2x/√(x²+y²+z²)=2x/llrll

∂Φ/∂y=2y/√(x²+y²+z²)=2y/llrll

∂Φ/∂z=2z/√(x²+y²+z²)=2z/llrll


Asi ∇Φ(x,y,z)= 2/lrl(x,y,z)

Esto se cumple si las funciones estan definidas con la norma del vector r=(x,y,z).

b) Φ(x,y,z) = 1/llrll=1/√(x²+y²+z²)

Asi :

∂Φ/∂x=-x/(x²+y²+z²)^-3/2 =-x/llrll³

Y asi para las otras derivadas parciales, lo q al final da:

∇Φ(x,y,z)= -1//llrll³(x,y,z)


Creo q asi puede ser...la verdad no se de donde sacas



Pues si es q tengo un error (a dcir verdad no lo veo   ), me lo muestran??...

Tengo este error:



Q pena, olvide usar la regla de la cadena y me di cuenta cuando pinche en ENVIAR....seria weno q eliminrn el mensaje anterior...

Creo (ahora si), que las drivadas kedan:

∂Φ/∂x= x/(x²+y²+z²)= x/llrll²


∂Φ/∂y= y/(x²+y²+z²)= y/llrll²


∂Φ/∂z= z/(x²+y²+z²)= z/llrll²

y ∇Φ(x,y,z)=1/llrll²(x,y,z)


Las otras si estan bien......................

r = x i + y j + z k

r= |r| = √(x² + y² + z²)

dΦ = ∇Φ·dr

∇Φ = (∂/∂x i + ∂/∂x j + ∂/∂x k) Ln √(x² + y² + z²)

(∂/∂x) Ln √(x² + y² + z²) = ½·2x/(x² + y² + z²) =  x/(x² + y² + z²) = x/r²


(∂/∂y) Ln √(x² + y² + z²) = ½·2y/(x² + y² + z²) =  y/(x² + y² + z²) = y/r²


(∂/∂z) Ln √(x² + y² + z²) = ½·2z/(x² + y² + z²) =  z/(x² + y² + z²) = z/r²

∇Φ = x/r² i + y/r² j + z/r² k = (x i + y j + z k)/r² = r/r²

El vector gradiente de Φ es igual al vector r dividido por el cuadrado de su módulo.

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El módulo del gradiente vale r/r² = 1 / r

Si es lo que queremos, el módulo del gradiente (no el vector) entonces basta con hacer:

dΦ = ∇Φ·dr

∇Φ = dΦ/dr = dL(r)/dr = 1 / r


Nota:

* Negrilla son vectores
* negrilla e itálica son vectores unitarios

* Un vector al cuadrado es un escalar y significa el cuadrado de su módulo:

r² = r·r = |r|²



No, se refiere al módulo del vector posición


El gradiente es un vector que nos dice en qué dirección hay que moverse dentro de un campo escalar para obtener la máxima variación de éste.