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Calcula las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la grafica de la función f(x)=x²-1
en x=-1. Dibujalas.

Lo primero que hay que saber es que las pendientes de dos rectas perpendiculares (m y m') cumple que m·m'=-1 ya que:

m = tg α
m' = tg(90+α) = -1/tg α = -1/m

Dicho esto la ecuación de una recta es:

Y = m·x + n

Si es tangente a la curva en un punto, tienen ambas la misma pendiente. Es decir:

m = f'(x)

y n se calcula conociendo el punto de tangencia.

El punto es el (x,f(x)) = (-1,0)

La derivada de f(x) en x=-1 vale (pendiente en ese punto):

m(x) = f'(x) = 2·x

m(-1) = f'(-1) = -2

La recta será Y = -2·x + n. Para calcular la n le imponemos que pase por (-1,0)

0 = -2·(-1) + n ⇒ n = -2

La recta es Y = -2·x - 2 (tangente en x = -1)


Para la normal sabemos que la pendiente es la opuesta de la inversa 1/2. Luego:

Y = (1/2)·x + n

debe pasar por el mismo punto (-1,0)

0 = -1/2 + n ⇒ n = 1/2

La normal en (-1,0) es:

Y = (1/2)·x + (1/2)