Foros Ciencias Galilei

1- Halla el número positivo cuya suma con 25 veces su inverso sea mínima

2- De todos los triángulos restángulos cuyos catetos suman 10cm, halla las dimensiones de aquel cuya área sea máxima.

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Llevo un par de dias con estos problemas, pero no soy capaz de hacerlos, la profesora tampoco nos lo ha explicado mucho, pero me gustaría entenderlo.

y = x + 25·(1/x)

Esta función da la suma de un número con 25 veces su inverso. Vamos a calcular el que daría como resultado un mínimo. Para ello derivamos:

y' = 1 - 25/x² = (x² - 25)/x²

Las soluciones son x² - 25 = 0 ⇒ x = ±5

Tomemos el positivo, 5, y comprobemos que se trata de un mínimo y que por tanto la derivada cambia de signo en él de - a +.

denominador x²>0

Antes del 5, x²-25<0  y'<0
Después del 5, x²-25>0  y'>0

Veamos, ahora, cuánto vale esa suma mínima. Para ello sustituimos x=5 en la función:

y(5) = 5 + 25·(1/5) = 10

Este es el valor mínimo, 10, para x=5

Sean a y b los catetos del triángulo rectángulo.

a+b=10

Area(a) = Base·altura/2 = a·b/2 = a·(10-a)/2

Derivamos la función área:

A'(a) = 5 - a

La igualamos a cero y sale que a=5

Veamos que se trata de un máximo. Para ello la derivada debe pasar de + a - en a=5

Antes del 5 ⇒ A'>0
Después de 5 ⇒ A'<0

La supuesta área máxima vadrá:

Area(a) = a·(10-a)/2 = 5·(10-5)/2 = 12,5 cm²

Muchas gracias, me ha servido de mucho