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Pues me tope con la siguiente función a derivar
me "tropiezo" mucho con las raizes  


√x·sen √(x  + √x )


Por si no se entiende:

raiz(x)  *   sen[  raiz(  x + raiz(x) )     ]


Me podrían orientar como se resolvería

Hola,

No utilices la derivada de la raíz. En realidad es una potencia:

y = uⁿ    =>    y' = n·u^n-1       donde  u  es una función de x. Ejemplo:

y = (x² + 3x +1)³    =>   y' = 3·(x² + 3x +1)²·(2x + 3)

y = ³√(x² + 3x +1) = (x² + 3x +1)^1/3    =>     y' = (1/3)(x² + 3x +1)^{1/3 - 1}·(2x + 3) =

                                                         2x + 3
= (1/3)(x² + 3x +1)^-2/3·(2x + 3) = ----------------------
                                                  3·³√(x² + 3x +1)²

u = √x = x^1/2   =>    u' = (1/2)x^-1/2 = 1/(2·√x)

y = x + √x      =>    y' = 1 + 1/(2·√x)


y = √(x + √x) = (x + √x)^1/2         =>   y' = (1/2)·(x + √x)^-1/2·(1 + 1/(2·√x))

La derivada de sen u      es     u'·cos u          (u es función de x)

Luego la derivada de:

v = sen √(x + √x)          =>         v' = (√(x + √x))'·cos √(x + √x) =

= [(1/2)·(x + √x)^-1/2·(1 + 1/(2·√x))]·cos √(x + √x)

Por último, la derivada de un producto:

y = u·v        y' = u·v' + u'·v          (u y v  son funciones de x)

En nuestro problema    u = √x       y         v = sen √(x + √x)

ambas están hechas:

y' = u·v' + u'·v = √x·[(1/2)·(x + √x)^-1/2·(1 + 1/(2·√x)]·cos √(x + √x)) + (1/(2·√x))·sen √(x + √x)

    √x·(1 + 1/(2·√x))·cos √(x + √x))                sen √(x + √x)
= --------------------------------------- + ----------------- =
                 2·√(x + √x)                                    2·√x


      (2√x + 1)·cos √(x + √x))          sen √(x + √x)
= ----------------------------- + ----------------- =
                 4·√(x + √x)                      2·√x

Mira nomas que pase tanto tiempo y al final hasta se me va cancelar el √x del ultimo paso
tan rebrujado que estaba

Muchisimas gracias        

Hola,

La longitud de arco de una función f(x) viene dada por:

     _xf
s = ∫√(1 + (f'(x))² dx
    ^xo

o en paramétrica:

x = f(t) = Vox·t
y = g(t) = yo + Voy·t -½·g·t²

     _tf
s = ∫√(f'(t))² + (g'(t))² dt
    ^to

Longitud de arco (Wiki)