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Hola tengo este problema:

Se dispone de una lamina de latón S unidades de área. El mayor volumen que puede ser encerrado por un tarro de forma de un cilindro circular recto (incluyendo las tapas superior e inferior) construido con esta lamina es:

Estas son las posibles soluciones : √(S³/63π), √(S³/54π), √(S³/6π), √(S³/24π) Y √(S³/18π)

Hola,


V = π·R²·h

S = 2·π·R·h + 2·π·R²        (área lateral más dos tapas)  =>   h = (S - 2·π·R²)/(2·π·R)


Sustituyendo en V:


     π·R²·(S - 2·π·R²)       R·(S - 2·π·R²)
V = ----------------- = --------------- = ½·(R·S - 2·π·R³)       [1*]
            2·π·R                       2


dV/dR = 0 = ½·(S - 6·π·R²)         =>    R² = S/(6·π)       =>   R = √S/(6·π)


Sustituyendo en [1*] y operando:


V = ½·(R·S - 2·π·R³) = ½·(S·√S/(6·π) - 2·π·√S³/(6·π)³) = ½·(√S³/(6·π) - (1/3)(√S³/(6·π) =

½·√S³/(6·π)·(1 - 1/3) = (1/3)·√S³/(6·π) =  √S³/(54·π)