Foros Ciencias Galilei

Saludos;

Alguien me podría ayudar explicando el siguiente problema paso a paso.

Calcule los valores de k tales que el sistema

x  + 2y  + z = 1
x  + 2ky + z = -2
3x + y  -  z = 7

a. Tenga Sólo una solución

b. No tenga Solución

c. tenga infinitas solución

Realizo los primeros pasos en los cuales aplico Gauss pero no se el método para que tenga  Única solución ,no tenga y infinitas soluciones?.


Mil Gracias por su ayuda.

Hola.

x + 2y + z = 1
x + 2ky + z = -2
3x + y - z = 7


Forma matricial:

1   2   1    1
1  2k   1   -2
3   1   -1   7

La primera por -1 se suma a segunda y primera por -3 se suma a tercera:

1   2      1    1
0  2k-2   0   -3
0   -5     -4   4

De la segunda sacamos:

2(k-1)·y = -3

Cuando k=1   =>   0·y = -3    No hay solución

Cuando k ≠ 1  =>  1 solución  =>    y = -3/(2(k-1))    =>    -5y - 4z = 4  (última ecuación)   =>

z = (5y + 4)/4          y la x se saca de la primera.

No hay valor de k para que tenga infinitas soluciones.

Muchas Gracias,Por tu pronta colaboracion, Me podriás dar una ultima ayuda.

La verdad es que no domino muy bien este tema.



De la segunda sacamos: (

2(k-1)·y = -3


Respuestas al punto

?Porque le doy valores a k=1 y k ≠ 1 ?

A)     Cuando k=1   =>   0·y = -3    No hay solución( Porque no hay solución, como compruebo)

B)     Cuando k ≠ 1  =>  1 solución  =>    y = -3/(2(k-1))    =>    -5y - 4z = 4  (última ecuación)   =>

z = (5y + 4)/4     y la x se saca de la primera(cuanto da esta x?).

c)  No hay valor de k para que tenga infinitas soluciones.( Como comprobraria que no puede tener infinitas soluciones matematicamente?)

De:

2(k-1)·y = -3

Aquí se ve que cuando k = 1 queda  0·y = -3. Ningún número por cero da -3. Todo número por cero da cero.

Cuando k no es 1, el término de la izquierda no se anula y por tando se puede despejar la y.

Tienes que tener presente que si k = 1   =>    y = -3/0  (por decirlo así) y eso no existe. No se puede dividir por cero (no es un número).

Gracias , ya entendí lo de la k =1 y k diferente a 1. Me podrías ayudar con estas tres preguntas.


B)     Cuando k ≠ 1  =>  1 solución  =>    y = -3/(2(k-1))    =>    -5y - 4z = 4  (última ecuación)   =>

z = (5y + 4)/4     y la x se saca de la primera(cuanto da esta x?).

c)  No hay valor de k para que tenga infinitas soluciones.( Como comprobraria que no puede tener infinitas soluciones matematicamente?)


Es que me piden el procedimiento muy detallado, me podrias ayudar con esas  dos preguntas?


La otra pregunta es que cuando lo ejecuto en Derive me arroja una respuesta diferente ?

[x = 9/(8·(k - 1)) + 2 ∧ y = 3/(2·(1 - k)) ∧ z = (8·k - 23)/(8·(1 - k))]



Mil Gracias Nuevamente,

No da diferente:

La del derive:  y = 3/(2·(1 - k))    =>     y = -3/(2·(k - 1))    que es la mia (se multiplica por -1 numerador y denominador)




Para que hubiera infinitas soluciones tendría que quedar algo como:

(k-2)(K-1)·y = 10·(k-2)

Si k = 2   =>   0·y=0        =>  Todo número cumple eso   =>    ∞  soluciones.
Si k = 1   =>   0·y=-10        =>  ningún número cumple eso   =>    no tiene  soluciones.
Si k ≠ 1 y  k ≠ 2 =>   (k-2)(K-1)·y = 10·(k-2)        =>  un número cumple eso   =>   tiene  una solución.



El valor de la x, y, z  depende del valor que se tome para k (con k ≠ 1)

Saludos Galilei


Mil Gracias,

Podría dejar la respuesta que me da derive como el valor que toma X o segun tu planteamiento cual seria la solución. Como es el procedimiento para llegar a este resultado.

x = 9/(8·(k - 1)) + 2

Si  y = -3/(2(k-1))    y    z = (5y + 4)/4 es igual al z = (8·k - 23)/(8·(1 - k) de derive

Me ha sido de mucha ayuda tus soluciones, no encuentro manera de recompensar su conocimiento.

Buen día,

Hola,

Al final nos quedó:

1   2      1    1
0  2k-2   0   -3        =>     2(k-1)·y = -3      =>     y = -3/(2(k-1)) = 3/(2(1-k))
0   -5     -4   4       =>  -5y - 4z = 4   =>   despejando z   =>
                                                                         15           8(k-1)
=>  z = -(5y + 4)/4  =  -5y/4 - 1 = 15/(8(k-1)) -1 = --------- -  ---------- =
                                                                        8(k-1)        8(k-1)

     -8k + 23         8k - 23
= ------------- = -----------
      8(k-1)            8(1-k)

De la primera ecuación despejamos x:
                                                                    6            -8k + 23
x + 2y + z = 1        =>    x = 1 - 2y - z =   1 + ---------- - ----------- =
                                                                 2(k-1)          8(k-1)

 8(k-1) + 24 + 8k -23        16k - 7
---------------------- = ----------  (misma solución que derive 9/(8(k-1)) + 2)
         8(k-1)                    8(k-1)