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Dos expresiones para ver cuál es la correcta:

√(-2)² = (-2)^2/2 = (-2)¹ = -2

√(-2)² = √4 = 2

No intento poner ningún truco. Es que no veo qué solución es preferible y cuál es el criterio que debe llevarme a ella. Gracias.

Hola,

Creo que lo correcto es lo segundo. Lo primero es cierto sólo si el radicando es positivo.

√(-2)² = 2 ≠ (√-2)²

Hubo una larga discusión en un antiguo tema. Buscalo debe estar por ahí.

Perdón por mi manera de utilizar los signos, pero lo que yo he escrito no es exactamente eso. Intentaré escribirlo mejor:

√(-2)²

(Lo he intentado pero confieso que no sé cómo escribir la raya superior de la raiz cuadrada.)

El caso es que (-2)² está todo dentro de la raiz y yo parto de ese único supuesto. El supuesto de que la potencia esté fuera de la raiz lo conozco y sé cuál es su razón. Pero el caso es que, partiendo de una única expresión (donde todo está dentro de la raiz), puedo llegar a dos soluciones distintas y esa es mi duda, según evalúe la raiz como una potencia o resuelve primero el radicando y después halle la raiz.

Reescribo mi duda:

√(-2)² = (-2)^2/2 = (-2)¹ = -2

√(-2)² = √4 = 2

Gracias.

Es curioso pero acabo de hacer la siguiente prueba tanto en Geogebra como en Wolfram Alpha y me ha dado el mismo resultado:

Si introduzco la función y= √x² ( se entiende que x² es el radicando de la raiz) me traza un gráfico equivalente al del valor absoluto de x, de manera que para valores negativos de x, el valor correspondiente de la y es positivo. (Es decir, para x=-2, entonces y=2, por ejemplo)

Por tanto, ambos sistemas responden como si primero evaluaran el cuadrado y posteriormente la raiz. De todos modos, me gustaría encontrar la razón lógica (o la norma, convenio o propiedad) que justifique esto.

Gracias.

- Hola, Pedro. Esto es lo que sé y cómo lo veo:
(La rayita superior para cubrir con raíz o indicar segmentos es el icono F de la 3ª línea de bbcodes)

Si intentas definir el valor absoluto de un número real, intuitivamente puedes afirmar que es el número "sin signo" (aunque enseguida tendamos a verlo como positivo).

|5| = 5
|-5| = 5    y generalizando, tenemos esta definición de valor absoluto:

                                        x   si x ≥ 0
                                     /
I)    f(x) = |x| =>  f(x) =                                      
                                     \
                                       -x  si x < 0

que, si te das cuenta, es la explicación rigurosa de la de los cincos, aplicando el mismo criterio.

Lo anterior dice:
       si en valor absoluto hay un valor positivo, déjalo como está, si "lo de dentro" es positivo o nulo.
       si en valor absoluto hay un valor negativo, cámbiale el signo, si "lo de dentro" es negativo.  

Lo del "o nulo" puede incluirse en la segunda opción (negativos), pero por convenio se suele dejar con los positivos solo.
                              
Supón que programaras una máquina para tomar valores absolutos de números reales:

- Si el lenguaje de programación "conoce" el valor absoluto, le ordenarías algo parecido a ABS(x), y ya está. Internamente se le aplicaría la definición de arriba.
     Pero.....
- Si ese lenguaje no conoce la función ABS() y sí otros cálculos más elementales (+,-,x,:,√,^), ¿cómo te asegurarías el resultado? Así: hacer x² quita el signo, pero te queda elevado al cuadrado y positivo con seguridad. Pues ahora toma la raíz cuadrada, y tienes exactamente lo mismo que el valor absoluto. Esto nos lleva a esta otra definición:

II)       |x| = √x²

Las expresiones I y II son la misma cosa para números reales. La primera es la adecuada para un nivel de bachillerato.

Cuando tengas una función del tipo  f(x) = |x+1| - 2 , enseguida hay que aplicarle la definición I, desdoblando así:


               x+1 -2 = x-1     si x+1 ≥ 0
            /
 f(x) =
            \
               -x-1 -2 = -x -3   si x+1 < 0

Pero, ya que aparecen inecuaciones, se resuelven:   x+1≥0 => x<-1      ;    x+1<0 => x<-1
Lo anterior, en limpio, queda:


               x-1     si x ≥ -1
            /
 f(x) =                                           y ya se puede trabajar con ella
            \
               -x -3   si x < -1

---

Recordemos que |x| = √x², míralo al revés: √x² = |x|, no hay diferencia. Tú encontraste que primero se eleva al cuadrado, y luego se toma la raíz cuadrada. Sí: supón que en √(-1)² no se hiciera en ese orden: te toparías con el amigo √-1. Esto nos lleva a tu pregunta inicial:  √(-2)², quizá escrito así haya algo de indefinición (por faltar la rayita de la raíz)  
Es verdad que (√2)² = √2² = 2, siempre que el radicando sea real

Todo lo dicho antes se puede asegurar para los números reales, pero ¿y con los imaginarios?
¿Podemos asegurar que  (√-2)² = √(-2)²  ?

Vamos a dejarlo en ¿  (√-1)² = √(-1)²   ?

Mira √(-1)² . Yo digo: que se espere la raíz; tengo como radicando (-1)² = 1, luego el resultado es 1.
Pero (√-1)² exige primero tomar i , y luego la raíz.
Ya no son la misma cosa. Puedes comprobar con una calculadora ambos.

Supón un número cuyo cuadrado sea -1. Debe ser √-1. Es la definición de la unidad imaginaria: un número cuyo cuadrado sea -1.

Entonces tenemos  que  (√-1)² = -1  , y se cumple la definición.  Pero ¿por qué no hacer esto otro?:
    
   (√-1)²  = √-1 · √-1 = √(-1)·(-1) = √(-1)² = √1 = 1
En algún momento hemos quebrantado la definición de i, pues su cuadrado no ha arrojado -1.

El problema está aquí: (√-1)²  ≠ √(-1)²  , esto solo vale para números reales: Complex (Wiki). Mira en "Multiplication of square roots".
(Traducción)

Como dice Marlon, por ahí hay una discusión acerca de esto (creo que tú participaste, ¿no?).

Hasta pronto.

Gracias por tu detallada y prolija respuesta, Etxeberri. Reflexionando sobre ella he llegado a la conclusión (no sé si acertada) de que el principio que podría estar detrás de todo este razonamiento es el de prioridad.

Es decir, en la raiz cuadrada de una potencia, la operación "potencia" es prioritaria a la operación "raiz" y por tanto ha de realizarse antes. Si las consecuencias de aplicar primero una u otra son las mismas, dará igual el orden en que se realicen; pero si las consecuencias NO son las mismas, entonces habrá que acudir al principio de que la operación "potencia" hay que realizarla primero, y después la "raiz".

Lo mismo ocurriría en el caso de una potencia a la que se eleva una raiz. En este caso la operación "raiz" es prioritaria a la de "potencia", y deberá respetarse este orden al efectuar las operaciones. Puede ocurrir que dé lo mismo hacer una primero y otra después, pero si no da lo mismo, hay que hacer primero la "raiz" y luego la "potencia".

Entiendo que podría ser ésta una consecuencia práctica de todo este razonamiento. Muchas gracias nuevamente.