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Sea A una matríz cuadrada tal que A·A = A + I, donde I e la matríz unitaria, demostrar que A es invertible.

Gracias
Alicia.

Hola,

Para probar que tiene inversa hay que encontrar una matriz B tal que:

A·B = B·A = I

A·A = A + I        Restamos A a ambos lados:

A·A - A = I          Sabemos que I cumple que A·I = I·A = A  (cambiamos  A por A·I)

A·A - A·I = I         Sacamos factor común por izquierda la A:

A·(A - I) = I      Parece que A - I es la inversa.  Seguimos:

Retomamos:

A·A - A = I       (cambiamos  A por I·A)

A·A - I·A = I   Sacamos factor común por derecha la A:

(A - I)·A = I

Luego si    (A - I)·A = A·(A - I) = I       =>     A - I   y   A   son inversas.