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Bueno te dejo otro problema con el que tengo dudas:
Probar que para todo número natural n se verifica que:

a) n³ + 5n es divisible por 6
b) n³ - n + 1  no es divisible por 3
c) n⁵ - n es divisible por 5, para todo n mayor o igual que 2
d) 3²n - 1 es divisible por 8

Gracias por todo

Hace mucho que no hago de estos ejercicios y toy algo oxidado (je-je), vamos a ver si esto sirve:

a) n³ + 5n es divisible por 6

*Probemos para n=1: 1³+5=6, que es divisible por 6.

*Supongamos que es válido para n=k

*Probemos que se cumple para n=k+1:

(k+1)³+5(k+1)

=k³+3k²+3k+1+(5k+5)

=(k³+5k)+3(k²+k+2)

=(k³+5k)+3[k(k+1)+2]=(k³+5k)+3k(k+1)+6

Ahora bien:

-El primer término al suponer la validez para n=k es divisible por 6.

-Es evidente que el tercer término es divisible por 6.

-Para el segundo termino tenemos:

*Cuando multiplicamos al 3 por cualquier número par, el número resultante es siempre divisible por 6, luego, cuando k es impar, tenemos que el 2º termino es:

3k(k+1)=3 X (Numero impar) X (Número par), que es divisible por 6 al tener una parte par multiplicada por 3.

*Cuando k es par, tenemos que el segundo miembro es:

3k(k+1)=3 X (Número Par) X (Número impar), que tambien es divisible por 6.

Luego, queda demostrado que  n³ + 5n es divisible por 6.