Foros Ciencias Galilei

Hola, uno de los más grandes dolores de cabeza que siempre he tenido son los logaritmos  

1) Si log₂b - log₂a = 5; el cociente b/a vale:

a) 10
b) 25
c) 32
d) 64
e) 128

2) Si log 5 = x, y log 3 = y, entonces log 375 es:

a) y+3x
b) y-x+3
c) 3(y+x)
d) y+5x
e) y-3x+3

3) Siendo m y n positivos diferentes de uno, a y b no nulos. log₃m = a y log₃n = b, entonces log_m3.log_n²9 vale:

a) ab
b) a+b
c) (ab)^-1
d) a-1.b
e) (a+b)^-1

Gracias por la ayuda :)

Lo primero es decirte que si no te gustan los log puedes funcionar con las exponenciales:

log_aN = x => N = a^x [1*]

log a + log b = log (a·b) [2*]

log a - log b = log (a/b)  [3*]

log aⁿ = n·log a [4*]

log_aa = 1 [5*]

log_ab = 1/log_ba   [6*]

log_na = log_ma/log_mn (cambio de base - 7*)

log a = log b => a = b  [por ser una función inyectiva - 8*]

Todas estas propiedades sale de la primera (son consecuencia de la primera) y la segunda. Son válidas para cualquier base.

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1) Si log₂b - log₂a = 5; el cociente b/a vale:

log₂ (b/a) = 5　　(por la propiedad 3*)

b/a = 2⁵ = 32　　(por la propiedad 1*)

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2) Si log 5 = x, y log 3 = y, entonces log 375 es: 5³·3

375 = 5³·3

Aplicamos log a ambos lados:

log 375 = log (5³·3) = log 5³ + log 3 = 3·log 5 + log 3 = 3·x + y

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3) Siendo m y n positivos diferentes de uno, a y b no nulos. log₃m = a y log₃n = b, entonces log_m3.log_n²9 vale:

log₃m = a => log_m3 = 1/a

log₃n = b => log_n3 = 1/b => n1^/b = 3 =>

=> n^2·(1/2·b) = 3 => log_n²3  = 1/(2b)

entonces:

log_m3.log_n²9 = (1/a)·log_n²3² = 2·(1/a)·log_n²3 =

2·(1/a)·log_n²3 = 2·(1/a)·(1/(2b)) = 1/(a·b) = (a·b)^-1

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(sobre todo el segundo mensaje del enlace anterior)

muchas gracias galilei, la verdad que me va mucho mejor con los exponentes.

Que es una función inyectiva?

Hay veces que uno se encuentra con que:

f(a) = f(b)

y quiere saber si eso implica que a = b o no. Por ejemplo:

Si a² = b² =>? a = b (aqui f(x) = x²)

Si sen a = sen b =>? a = b

Si Log a = Log b =>? a = b


La respuesta es que si es inyectiva la respuesta es sí.

Una función es inyectiva si todo elemento del conjunto imagen tiene sólo un correspondiente original. Dicho de otra forma, si en la gráfica de f(x) trazáramos una linea horizontal a cualquier altura de la misma, como mucho, debería cortar una vez a la función . Esto es fundamental para poder asociar a una función su inversa (o recíproca)

La primera función del ejemplo no sería inyectiva pues es una parábola y una linea horizontal la cortaría dos veces:

Si a² = b² => a = ∓ b

La segunda, esa linea la cortaría infinitas veces:

sen a = sen b => sen 30 = sen 150 y sin embargo 30 ≠ 150 (y vueltas)

El log sí es inyectiva y cumple que dado un f(a) sólo hay un 'a' tal que su imagen es f(a).

Dicho de otro modo, no es posible que siendo a ≠ b tengan el mismo logaritmo Log a = Log b

En esto se basa las ecuaciones logarítmicas, en llegar a igualar dos log a ambos lados de la igualdad para poder aplicar lo comentado:

Ejemplo:

log (x + 1) + log x = 1

log (x + 1) + log x = log 10

log (x·(x+1)) = log 10 => x·(x+1) = 10 (por ser inyectiva)

ahhh, gracias por la explicación profe :)