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¿Por qué las ecuaciones de segundo grado se resuelven con una fórmula cuando en las demás se despeja la incognita por los métodos tradicionales?

¿Qué ecuaciones son reducibles a segundo grado?

¿Por qué son tan importantes estas ecuaciones en ciencias?

Nota:

Para mi amigo Kratos

No lo se, estas cosas no lo enseñan los profes(del montón, como la mayoría de los mios)
Pero intentando sacar algo he descubierto de donde sale el vértice de las parábolas(como es lógico de la derivada 1ª, no habia caído antes)

Las ecuaciones de este tipo tienen la forma:

a·x² + b·x + c = 0

La dificultad, a la hora de despejar la x, está en que una está al cuadrado y otra no. Es difícil 'juntar' las dos en una sola para poder despejar. Pero sí se puede si le echamos un poco de imaginación:

Pongamos por caso que queremos resolver la siguiente ecuación:

x² + 2·x + 1 = 0

Se puede observar que el término de la izquierda es un cuadrado perfecto, es decir, es (x + 1)² y, por tanto, la expresión anterior se puede escribir:

(x + 1)² = 0 => √(x + 1)² = ±√0 => x + 1 = 0 => x = -1 (raíz doble)

Pero qué ocurre si no tenemos la suerte de que el término independiente sea el cuadrado del segungo sumando:

x² + 2x - 8 = 0

Podemos observar que a (x² + 1)² hay que retarle 9 unidades para ser la ecuación propuesta:

x² + 2x + 1 - 9 = 0

(x + 1)² - 9 = 0 => (x + 1)² = 9 => √(x + 1)² = ±√9 => x + 1 = ±3 => x = 2 y -4

Hasta ahora hemos mantenido el sumando 2·x (doble producto del primero por el segundo). ¿Y si ese número no es un dos? Por ejemplo:

x² + 4x + 4 = 0

Vemos que el doble producto es 4 luego hay que poner un 2 (la mitad) en el segundo término del cuadrado perfecto:

(x + 2)² = 0 => x = -2

¿Y si el término independiente no es el cuadrado del segundo?. Ejemplo:

x² + 4x - 5 = 0

Cmo el témino es (x + 2)² = x² + 4x + 4 Hay que restarle 9 para que aparezca la ecuación. Esto lo podemos hacer así de forma mecánica:

x² + 4x - 5 + 4 - 4 = 0 (sumamos y restamos el cuadrado del segundo)

x² + 4x  + 4 - 5 - 4 = 0

(x + 2)² - 9 = 0 => (x + 2)² - 9 = 0 => √(x + 2)² = ±√9 => x + 2 = ±3 => x = 1 y -5

En general, sea la ecuación de segundo grado:

x² + 10·x - 2 = 0

Procedemos del modo siguiente:

Como el término central es 10·x ponemos la mitad de ese número en el paréntesis:

(x + 5)² = x² + 10·x + 25 => x² + 10·x = (x + 5)² - 25

Sustituimos x² + 10·x por (x + 5)² - 25 que como vemos sólo tiene una x (a despejar).

(x + 5)² - 25 - 2 = 0 => (x + 5)² - 27 = 0 => (x + 5)² = 27 => √(x + 5)² = ±√27 =>
x + 5 = ±√27 => x = -5 ± √27


Otro ejemplo:

x² + 9·x - 1 = 0

Procedemos a averiguar (x + 9/2)² = x² + 9·x + 81/4 . Sustituimos x² + 9·x por (x + 9/2)² - 81/4

(x + 9/2)² - 81/4 - 1 = 0 => (x + 9/2)² - 85/4 = 0 => x + 9/2 = ±√(85/4) => x = -(9/2) ± ½√85

Seguirá ...

Las ecuaciones de segundo grado se pueden resolver despejando X como en las demás, lo q pasa es q en el proceso, resulta esa formulilla, veamos:

Una ecuacion de segudo grado tiene la forma:

ax²+bx+c=0

Si Dividimos por a y restamos c/a, obtenemos:

x²+(b/a)x=-c/a

Ahora completamos cuadrados sumando (b/2)²=(b/2a)²:

x²+(b/a)x+(b/2a)²=-c/a+(b/2a)²

ESto equivale a:

(x+b/2a)²=(b²-4a²c)/4a²

Si sacamos raiz cuadrada:

x+b/2a=±(1/2a)√(b²-4ac)

Restando (b/2a):

x=-(b/2a)±(1/2a)√(b²-4ac)

Y obtenemos una suma de terminos homogeneos que finalmente da:

x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a), como queriamos mostrar...

Hagamos todo lo expuesto con la siguiente ecuación:

a·x² + b·x + c = 0

Dividimos por 'a':

x² + (b/a)·x + c/a = 0

Escribimos el supuesto cuadrado perfecto con la mitad de (b/a) que es (b/2a) en el segundo sumando del cuadrado perfecto:

(x + (b/2a))² = x² + (b/a)·x + b²/4a²

Despejamos x² + (b/a)·x = (x + (b/2a))² - b²/4a²

Sustituimos en la segunda ecuación:

x² + (b/a)·x + c/a = 0

(x + (b/2a))² - b²/4a² + c/a = 0

Sumamos - b²/4a² + c/a = - b²/4a² + 4ac/4a² = (-b² + 4ac)/4a²

(x + (b/2a))² + (-b² + 4ac)/4a² = 0

(x + (b/2a))² = (b² - 4ac)/4a²

Hacemos la raíz cuadrada a ambos lados:

x + (b/2a) = ± √(b² - 4ac)/2a

Despejamos la x:

x =  -(b/2a) ± √(b² - 4ac)/2a

x = (-b ± √(b² - 4ac))/2a

Y ya está, esta es la famosa fórmula ...

Oh, gracias jejejeje creo que fui el último en ver el post :S. Leí sobre esa formulita, creo que la descubrió Abel (creo...) también estudie las propiedades de las raices, mas adelante me van a tocar problemas donde tenga que utilizar ecuaciones de segundo grado para resolverlos, iré colocando esos ejercicios :)

Yo creo que oi a un profe de la facultad decir  que esa formula la saco Newton....y Galilei, me gusto esa deduccion, la mia la "descubri" una tarde mientras merendeaba..jejejeje..principalmene la habia pensado con derivadas, porque la derivada esto es muy similar a la formula, pero llegaba a un lio..   ...y para el q lo lea, sabra cual de las dos elegir..