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log 2 + log (4^x-2 +9)=1 + log (2^x-2 +1)

log 2 + log (4^x-2 +9)=1 + log (2^x-2 +1)

2·(4^x-2 + 9) = 10·(2^x-2 +1)

2·2^2·(x-2) + 18 = 10·2^x-2 + 10

2·2^2x·2^-4 + 18 = 10·2^x·2^-2 + 10

como 2^-4 = 1/16 y 2^-2 = 1/4, sustituyendo:

2·2^2x·(1/16) + 18 = 2^x·(5/2) + 10

(1/8)·2^2x + 18 = (5/2)·2^x + 10

multiplicando por 8:

2^2x + 144 = 20·2^x + 80

2^2x - 20·2^x + 64 = 0

hacemos 2^x = t

t² - 20·t + 64 = 0

No acabo de entender porque deciis que no hay soluciones reales.
Resolviendo la ecuacion en t que planteas da dos soluciones: 4 y 16, que corresponden a los valores de x de 2 y 4.
Sustituyendo estos valores en la ecuacion original se ve que la cumplen.
Para x=2 queda
log 2+ log 10 = log 10 +log 2
y para x=4
log2 + log25 = log10 + log5 o lo que es lo mismo log(2*25)=log(10*5)
Luego el problema esta correctamente resuelto y las soluciones son totalmente reales.

Un saludo y perdon por la intromision

Efectivamente, había un error en el cálculo de 8·18 que es 144 y no 142 como puse.
Además a la hora de calcular el discriminante (no sé por qué) tomé "a" como 2 cuando era 1

Gracias de nuevo por la corrección.