Foros Ciencias Galilei

-> tan⁴ x - sec⁴ x = 1 - sec² x

-> (sen x + cos x)² + (sen x-cos x)² = (tan² x cos² x + cot² x sen² x)

-> [tan x ( cos² x - sen² x)] / (1 - tan² x) = (sen³ x + cos³ x) / (sen x + cos x)

> (tan²x - sec²x)·(tan²x + sec²x) = ---->

sen²x + cos²x = 1     =>  tan²x + 1 = sec²x   =>   tan²x - sec²x = -1

Sustituyendo:

                   sen²x                1
----> = -1·(----------- + -----------) = -(tan²x + sec²x)
                   cos²x             cos²x

         sen²x                 sen²x            cos²x
-1·( -------------- + ------------ + --------------) =
         cos²x                cos²x            cos²x

-(2·tan²x + 1) = -(2·(-1+sec²x) + 1) = -(-1 + 2·sec²x) = 1 - 2·sec²x

sen²x + cos²x + 2 sen x cos x + sen²x + cos²x - 2 sen x cos x =

2·sen² x + 2·cos² x = 2·(sen²x + cos² x) = 2


Por otro lado:

(tan²x cos²x + cot²x sen²x) = sen² x + cos² x = 1

sen x (cos²x - sen²x)          sen x (cos²x - sen²x)·cos² x
------------------------ = ----------------------------- = sen x·cos x = ½·sen 2x
cos x  (1 - tan² x)                 cos x (cos² x - sen² x)

Por otro lado:

(sen x + cos x)³ = sen³ x + cos³ x + 3·sen² x·cos x + 3·sen x·cos² x = sen³ x + cos³ x + 3·sen x·cos x (sen x  + cos x)

  (sen³x+cos³x)       (sen x + cos x)³ - 3·sen x·cos x (sen x  + cos x)
------------------ = -------------------------------------------------- =
   (senx + cosx)                             (senx + cosx)

 
= (sen x + cos x)² - 3·sen x·cos x = sen²x + cos²x - sen x cos x = 1 - sen x cos x = 1 - ½·sen 2x