Foros Ciencias Galilei

Demostrar las siguientes identidades:

1-sen² α     1+cos² α
---------- ·----------- · tg α = sen α
  cos α       2-sen² α


cotg² α·cos² α - cotg² α = -cos² α


cos⁴ α - sen⁴ α
---------------- = (1 - tg² α)/tg α
 sen α·cos α

¿El primero es así?

1-sen² α     1+cos² α
---------- ·----------- · tg α = sen α
  cos α       2-sen² α

sen² α + cos² α = 1   =>   1 - sen² α = cos² α    o   que  1 - cos² α = sen² α


cos² α     1+cos² α
---------- ·----------- · tg α = sen α
 cos α     1+(1-sen² α)

          1+cos² α
cos α · ----------- · tg α = sen α
          1+cos² α

cos α · 1 · tg α = sen α    =>   cos α·(sen α/cos α) = sen α

cotg² α·cos² α - cotg² α = -cos² α

cotg² α·cos² α - cotg² α = cotg² α·(cos² α - 1) = -cotg² α·(1 - cos² α) =

= -cotg² α·sen² α = -(cos² α/sen² α)·sen² α = -cos² α

ya que:

cotg α = (1/tg α)   =>    cotg² α = (1/tg² α) = (cos² α/sen² α)

cos⁴ α - sen⁴ α        (cos² α - sen² α)(cos² α + sen² α)
---------------- = ----------------------------------  =
 sen α·cos α                    sen α· cos α

Como     cos² α + sen² α = 1

   (cos² α - sen² α)         cos² α           sen² α
= ------------------- = ------------ - ------------- =
      sen α· cos α         sen α· cos α     sen α· cos α

Simplificando cada quebrado:

    cos α       sen α
= -------- - -------- =  (1/tg α) - tg α = (1/tg α) - (tg² α/tg α) =
    sen α       cos α

= (1 - tg² α)/tg α