Foros Ciencias Galilei

Hola  soi nuevo aki! espero que me puedan ayudar con esto xD

En la  figura, el punto P se encuentra al interior del cuadrado ABCD. Si PA  = 10, PB=6, y PC =14, el area del cuadrado será:



A)8√2
B)140
C)232
D)12√58
E)464


EDIT : Mal  puesta la alternativa C, era 232 y NO 132, tal como dijo el adm.

Hola Killua, bienvenido al foro. Pues te has estrenado bien. Te voy a explicar mi planteamiento pero te advierto que no me sale una solución real. Debo de estar cometiendo un error y no veo donde.

Si llamamos x al ángulo que forma PBC, el ángulo PBA será 90-x (complementarios)

Aplicando el Teorema del coseno a estos ángulos:

14² = 6² + L² - 2·6·L·cos x ⇒ L² -12·L·cos x = 160 ⇒ cos x = (L² - 160)/(12·L)

10² = 6² + L² - 2·6·L·cos (90-x) = 36 + L² -12·L·sen x ⇒ sen x = (L² - 64)/(12·L)

Mira ahora el mensaje siguiente, está resuelto más fácil.

Editado.

Se me ha ocurrido una forma mejor de resolver: Como, sen²x + cos²x=1

cos x = (L² - 160)/(12·L)

sen x = (L² - 64)/(12·L)

elevando al cuadrado y sumando:

(L² - 160)²/(12·L)² + (L² - 64)²/(12·L)² = 1

Operando:

L⁴ + 160² - 320·L² + L⁴ + 64² - 128·L² = 144·L²

L⁴ - 296·L² + 14848 = 0

cuya soluciones son:

L = - 2·√58  L = 2·√58  L = -8  L = 8



¿No será la solución C, 232 (en vez de 132)? que es (2√58)²

Otra posible solución es 64

De todas formas revisa los cálculos

Hola  de nuevo!

Primero que todo, muchas  gracias  por la  bienvenida  
Ahora con respecto  a la pregunta, queria saber si se puede llegar al  resultado, pero
sin ocupar el teorema del coseno??  es que se supone que en el nivel que estoi aun no me pasan el teorema del seno ni el coseno, ya que eso es parte de primer año de universidad.

Aunque = entendi el procedimiento, segun el link que dejaste, pero aun no entiendo de dónde salió L, si me pudieras explicar eso por favor

parece que L  lo  tomas  como el lado del cuadrado, me puedes explicar  mejor eso??


Bueno  Gracias!

Saludos!

Te respondí esta mañana y por lo visto no lo envié al servidor.

Efectivamente, L, es la longitud del cuadrado.

No creo que se pueda hacer sin aplicar los teoremas de senos o cosenos, aunque todo es posible. Aquí, estos teoremas se dan antes de entrar en la universidad. Si se me ocurre otra forma la expondré aquí. No tiene pinta el problema de poder resolverse con unas pocas operaciones.

Ten en cuenta que la única conexión que hay entre ambos triángulos ABP y PBC es que tienen un ángulo uno complementario del otro. Esto es lo que permite reducir el nº de incognitas.

Nota:

El teorema del coseno es aconsejable aplicar cuando se conocen dos de los lados de un triángulo y el ángulo que hay entre ellos. En nuestro caso hemos conseguido dos ecuaciones (una por cada triángulo) y dos incognitas x (ángulo) y L (lado del cuadrado). Conocíamos el lado opuesto.

c² = a² + b² - 2·a·b·cos x

donde a y b son dos lados cuyo ángulo entre ellos es x y c es el lado opuesto al ángulo x.