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Dados los vectores x=( 2, -3 ) e y=( 3, K ). Calcula el valor que ja de tomar K para que:

a) el modulo de y de 5
b) el producto escalar de x e y valga 3
c) la inclinacion de y sea 135º

Gracias.

Dados los vectores x=( 2, -3 ) e y=( 3, K ). Calcula el valor que ja de tomar K para que:

a) el modulo de y de 5
b) el producto escalar de x e y valga 3
c) la inclinacion de y sea 135º


a) Para calcular el módulo de un vector se efectúa la siguiente operación:

módulo = √(x² + y²) = 5

√(3² + k²) = 5     <==>   9+k² = 25   <==>    k² = 16   <==>   k = ±4

(ambos valores son correctos, porque en realidad son dos vectores con sentidos opuestos).


b) El producto escalar de forma analítica se calcula multiplicando las coordenadas x y sumándolas al producto de las coordenadas y:

x·y= 2·3 + (-3)·k = 3      <==>    6-3k = 3    <==>   3k = 3   <==>   k = 1


c) Entiendo que lo que se pregunta es la inclinación con respecto al eje OX. Un vector que coincida con dicho eje sería u = (1,0), por lo que vamos a utilizarlo:

                 u·v                        1·3 + 0·k                                                3
cos 135 = ---------- = -----------------------------       <==>   -0,707 = ------------
               |u|·|v|        √(1² + 0² · √(3² + k²)                                    √(9+k²)


(elevando al cuadrado y despejando)

0,5·(9+k²) = 3²      <==>     0,5k² + 4,5 - 9 = 0    <==>    0,5k² = 4,5   <==>   k=±3

(hay dos vectores que forman un ángulo de 135º con el eje OX, uno en el primer cuadrante y otro en el 4º)