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Creo que este es el último ejercicio q necesito resolver sobre rectas ;-)

¿Son complanarios los puntos A (1,0,2), B (0,-1,1), C (-1,-2,0) y D (0,2,2)? Si existe, calcula la ecuación del plano que los contiene.

¿Calcula la ecuación general y las ecuaciones paramétricas del plano que es perpendicular al plano π: 2x+y-3z+4 = 0 y contiene a la recta que pasa por los puntos P (-1,1,2) y Q (2,3,6)

Gracias

- Hola, Tibesti:



El plano conocido tiene vector vπ=(2,1,-3).
La recta que pasa por P y Q tiene vector director vr = Q - P => vr = (3, 2, 4).


Dos planos perpendiculares tienen vectores normales perpendiculares.
Un plano que contiene a una recta tiene un vector normal perpendicular al director de la recta contenida.

Por tanto, busco un tercer vector w perpendicular a vr y a vπ : producto vectorial de estos.

w = vr x vπ =
=> w= (10, -17, 1) es el vector normal del plano pedido; con él podemos ir armando π'≡ 10x - 17y + z + d =0

Para hallar el término independiente d, basta con darle al plano un punto concreto que le vaya a pertenecer; por supuesto, cualquiera de los de la recta valdrá. Pues le ha tocado a P(-1,1,2)   :)

Que  π'  acepte su punto P:
10*(-1) - 17*1 + 2 + d = 0  =>  -10 -17 + 2 + d = 0 => d = 25, luego el plano pedido en forma general es

π'≡ 10x -17y + z + 25 = 0

Para las ecuaciones paramétricas resolveremos este sistema de una ecuación con tres incógnitas. Seguimos el método de Rouché al pie de la letra.

Las matrices A, A'  del sistema son  (10  -17  1  | -25), que tienen rango 1:   Rg(A) = 1 = Rg(A') < 3 = nº incógnitas => SCI con 2 grados de indeterminación. Tomamos dos parámetros: y=λ; z=μ y los llevamos al término indep:

10x = -25 +17λ -μ  =>

x = -2,5 + 1,7  λ - 0,1 μ
y = λ
z = μ  

Son las ecs paramétricas del plano Π' (pasa por el pto (-5/2 , 0 , 0) y es paralelo a los vectores (1,7 ; 1 ; 0) y (-0,1 ;0 ;1) ).

Podemos considerar los tres vectores AB, AC, AD, en los que participan los cuatro puntos:

AB = (0-1 , -1-0, 1-2) = (-1, -1, -1)
AC = (-1-1, -2-0, 0-2) = (-2 , -2, -2 )
AD = (0-1, 2-0, 2-2) = (-1, 2, 0)

¿Podemos simplificar estos vectores? Sí, ya que de ellos queremos las direcciones y no los módulos. A la hora de considerar el plano Π de mi mesa, me da igual la hoja que tengo sobre ella, que todo el tablero; ambos definen el mismo plano.

AB = (1, 1, 1)
AC = (1, 1, 1)
AD = (-1, 2, 0)

Disponemos los tres vectores en un determinante. Si este vale cero, los vectores son linealmente dependientes, señal de que sí son coplanarios dichos tres vectores, y por tanto los cuatro puntos que los forman.

Este determinante vale cero por tener dos filas iguales, luego los cuatro puntos son coplanarios: hay un plano que puede contenerlos a todos.

Según lo visto, el plano que contiene a los cuatro puntos, será el mismo que contiene a tres cualesquiera de ellos. Necesitamos dos vectores "directores" del plano (contenidos en él o paralelos) y un punto cualquiera del plano. Tomamos, por ejemplo, los vectores  AB y AD, y el pto C.  (No los vectores AB y AC, que son "el mismo").

AB = (1, 1, 1)
AD = (-1, 2, 0)
C (-1,-2,0)
Ecuación del plano con dos vectores directores y un punto:

Resuelto es Π≡ -2x-y+3z-4=0

Venga.

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Nota: Un plano queda definido por tres puntos, como ocurre con un triángulo. Si añado un cuarto punto, ¿qué sucede con ese plano?
Depende: Si tengo un cartabón sobre la mesa y una monedita también sobre ella, el sistema cartabón-moneda define el plano mesa.
Pero si tengo el cartabón sobre la mesa y la moneda en una repisa alta, no hay forma extender un plano que contenga a todos los elementos.