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Hallar la distancia mas cercana del punto  P(4,-1,5) a la linea recta que pasa por los puntos P₁(-1,2,0) Y P₂(1,1,4)

Nesecito ayuda con este ejercicio y con el otro que postie.
se los agradeceria mucho
Gracias.

Hola,

Un vector director de la recta es:

P₁P₂ = (1,1,4) - (-1,2,0) = (2, -1, 4)

Los puntos de la recta tienen la forma (en paramétricas):

x = -1 + 2λ           Punto P₁    y   vector   P₁P₂
y = 2  - λ
z = 0 + 4λ

Sea Q un punto cualquiera de la recta. El vector que va de P a Q tiene la forma:

PQ = OQ - OP = (-1 + 2λ, 2 - λ, 4λ) - (4, -1, 5) = (-5 + 2λ, 3 - λ, -5 + 4λ)

El vector de menor módulo es aquel que es perpendicular a la recta. Para ello el producto escalar debe valer cero (entre el vector PQ y el vector director de la recta):

PQ·P₁P₂ = (-5 + 2λ, 3 - λ, -5 + 4λ)·(2, -1, 4) = 0

-10 + 4λ - 3 + λ - 20 + 16λ = 0     21λ = 33             λ = 33/21 = 11/7

Sustituye este valor de λ en el vector PQ, su módulo es la distancia menor de P a la recta.

muchas gracias... se lo agradezco

Estimado:

Dada la ecuación de la recta de la forma f(x,y,z)=a*x+b*y+c*z+1=0, cuyo vector director es n=[a,b,c], la distancia de un punto con coordenadas [Px,Py,Pz] a esa recta se puede calcular como:

Distancia=(a*Px+b*Py+c*Pz+1)/√(a²+b²+c²)=f(Px,Py,Pz)/norma(n)

Espero que les sirva.

La fórmula se demuestra con el procedimiento que explicaron anteriormente.

Hola Jumong,

Una ecuación de este tipo  f(x,y,z)=a*x+b*y+c*z+1=0  representa a un plano, no a una recta.