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1)Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de las rectas:

r: 6x-8y + 5 = 0 y s: 4x+3y-1=0

2)Indica el centro y el radio de la siguiente circunferencia y escribe su ecuación general:

(x-2)² + (y+4)²=3


3)Determina la posición relativa de los siguientes pares de circunferencias:

a) x² + y² - 2x - 4y +1 = 0 ; x²  + y² - 2x +2y -1=0

Hola, Informatico:

Los puntos que equidistan de dos rectas componen otra recta: la bisectriz del ángulo que forman.
Para hallar un "lugar geométrico", parto de un punto genérico P(x,y), representante de todos los que busco. Y entonces establezco las condiciones: igualdad de distancia de 'P' a 'r' y a 's':   d(P,r)=d(P,s)
Ahora busco la teoría para distancia punto-recta, y tengo que si el pto. es el (p,q) y la recta es Ax+By+C=0, la distancia viene dada por:
      |A*p+B*q+C|  
d = --------------  
      √(A²+B²)

(es decir: pto sustituido en el 1er miembro de la recta, en valor absoluto, entre módulo del vector director de la recta)

Hay que sustituir el pto P de coordenadas (x,y) en las rectas, es decir, "sustituir" x en x e y en y:

|6x-8y+5|         |4x+3y-1|   
-----------    =   -----------      esta igualdad en valores absolutos lleva a dos igualdades:
√(6²+(-8)²)      √(4²+3²)

I)      6x-8y+5                4x+3y-1
      -------------    =   -----------      (directamente sin vals absolutos)
       √(6²+(-8)²)          √(4²+3²)

y II)   6x-8y+5               4x+3y-1
       --------------  = - -----------   (sin vals abs y menos en un miembro)  
        √(6²+(-8)²)          √(4²+3²)

Es decir, hay dos soluciones, pues dos rectas que se cortan producen dos bisectrices, una para el ángulo agudo y otra para el obtuso.

Operando en I)  (6x-8y+5)√25=(4x+3y-1)√100 => 30x-40y+25=40x+30y-10 => 10x + 70y - 35 = 0 => 2x + 14y + 7 = 0

Operando en II)  (6x-8y+5)√25= - (4x+3y-1)√100 =>  30x-40y+25= - 40x-30y+10 => 70x - 10y + 15 = 0 => 14x - 2y + 3 = 0

Cualquier pto de I (o de II) dista igual de r que de s.
Venga, Informático.

Siendo la ecuación de la circunferencia: (x-a)²+(y-b)²=r², con (a,b) el centro y r el radio, es inmediato que:
(2 , -4) es el centro y el radio es √3.
La forma general es la desarrollada a partir de (x-2)² + (y+4)²=3:
x²+4-4x+y²+16+8y=3 =>  x²+y²-4x+8y+17=0

Las posiciones relativas de dos circunfas. pueden ser, poniendo un poco de imaginación:

a) Una interior a la otra           d) secantes
b) tangentes interiores            e) tgtes. exteriores
c) tgtes. exteriores                 d) exteriores
(queda una: coincidentes, pero va a ser que no...   )

Si hallamos los ptos. que puedan tener en común, ayudará al menos a descartar casos y encauzar el problema. Como siempre, si queremos hallar los ptos. comunes de elementos cualesquiera, hay que reolver el sistema:

I)  x² + y² - 2x - 4y +1 = 0    Este sistema pide a gritos el método de reducción: a I le resto II:    x² + y² - 2x - 4y +1 = 0
II) x² + y² - 2x + 2y -1 = 0                                                                                               x² + y² - 2x + 2y -1 = 0
                                                                                                                                        -----------------------------------  
                                                                                                                                                      -6y + 2=0 =>

=> 6y=2 => y = 1/3=0,333 (van a ser o tgtes. o secantes); Sustituyo en I)  x² + (1/3)² -2x - 4/3 + 1 = 0 =>

x²-2x-2/9=0 => 9x²-18x-2=0; resolviendo: x₁= 2,106 ; x₂=-0,106 ; hay dos puntos: la abcisa (x) difiere en ambos, pero comparten la ordenada "y":
(2,106 ; 0,333) , (-0,106 ; 0,333) son los puntos en común, luego las dos circunferencias son necesariamente secantes.

¡Hale, venga!