Foros Ciencias Galilei

1)Determinar el punto A' simétrico del A(2,1) respecto de la recta r: x + 2y = 9

2)Determina B para que la recta x + By - 4 = 0 diste del punto P(3,1), √2 unidades.

- Hola, Alejma.
1) Determinar el punto A' simétrico del A(2,1) respecto de la recta r: x + 2y = 9

Para este apartado,  la teoría que necesitas es:

i) Cálculo del punto medio de otros dos (o de un segmento):   P------------M------------P' La coordenada x de M es la media de las coordenadas x de los dos ptos extremos P y P', y lo mismo para las 'y':
       x₁+x₂
X_M=--------         
          2
                             ( => Por ej., el pto medio de P(-1 , 5) y P'(-2 , 3)  es ((-1-2)/2 , (5+3)/2) = (-3/2 ; 4))
        y₁+y₂
Y_M=--------         
          2

ii) Dos rectas perpendiculares tienen pendiente inversa y opuesta. (Si una tiene m=2/3, su perpendicular tiene m=-3/2); es lo mismo que decir que m_r * m_s = -1   

Para averiguar la pendiente de una recta, la escribimos en fª explícita y=mx+n; m, coeficiente de x, es la pendiente.


Empezamos: Para hallar el simétrico de un pto. respecto de una recta, hallaremos la recta ⊥ a r que pasa por A. Luego hallamos el pto de corte con la r, que será el M, pto medio del A y del desconocido A', y luego aplicamos la teoría para el pto medio.

Pendiente de r: x + 2y = 9 => y = -(1/2) X + 9/2 => m_r= -1/2; la m de una ⊥ debe ser inversa y opuesta: m_s=2
Por tanto, la recta ⊥ debe ir tomando la forma y = 2x + n; hay que determinar 'n'. La hacemos pasar por el pto A(2,1); para ello:
sustituimos x=2, y=1  =>   1 = 2*2 + n => n=-3 ; la recta s dice que bueno, que admite el punto A, pero que n debe valer -3.
Por tanto, s : y=2x-3 es la recta AA'

Esta recta nos ayuda a hallar el pto. M, pues este es intersección entre r y s. Para encontrar el pto de intersección de dos rectas, resolvemos el sistema que forman:

x + 2y = 9
y = 2x - 3    Por sustitución: x + 2(2x-3) = 9 =>  x+4x-6=9 => 5x = 15 => x =15/3 => x=3    ;    y=2*3-3=> y=3

Por tanto, M(3 , 3) es el pto medio del A(2,1) conocido y del A' buscado. Aquí despedimos a la recta s ⊥ agradeciéndole su ayuda...

... Y sacamos la teoría para el pto medio. Ocurre que el pto medio M es conocido, y las incógnitas son x₂ , y₂ , coordenadas del pto A':
       2+x₂                                                      1 + y₂  
3 = ------- => x2=6-2 => x2 = 4                  3= ------- => y₂=6-1=> y₂ = 5
         2                                                            2
Por tanto, el pto buscado es A'(4 , 5)

2) Determina B para que la recta x + By - 4 = 0 diste del punto P(3,1), √2 unidades.

La teoría necesaria aquí es la fórmula de distancia de un pto P a una recta r: Sean P(x₀, y₀) y r: ax+by+c=0
[cuando a una x ó y le ponemos subíndice, es un valor que hay que determinar; si no, es la vble x ó y]

          |a·x₀ + b·y₀ + c|
d(P,r) = ------------------              Procuremos entender bien qué valor es cada 'letra' :
              √(a²+b²)


P(3,1) ; r: 1x + By - 4 = 0
                                                                                1*3 + B*1 -4                        B-1
Como nos dan el resultado: d(P,r) = √2 , tenemos     √2 = -------------   =>  √2=  ---------------  =>
                                                                                 √(1+B²)                         √(1+B² )

√2 * √(1+B²) = B-1 => √(2+2B²) = B-1 , ecuación irracional; elevamos al cuadrado ambos miembros:

2 + 2B² = (B-1)² => 2 + 2B² = B² - 2B + 1 => B²+2B+1=0, ec de 2º grado; pero fijándonos, resulta ser (B+1)²=0 => B = -1. Con B=-1, la distancia de P(3,1) a r: x - y -4 =0 es de √2 uds.

Hale, venga.

Muchas Gracias por todo Etxeberri.

Me ha servido de mucha ayuda.