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Necesito saber cual es la formula de la distancia de un punto a un plano y demostrarla.

Agradecería vuestra ayuda

Hola,



Sea Ax + By + Cz + D = 0  la ecuación del plano y (xo, yo, zo) el punto P.

Vamos a calcular la distancia de P al plano.

Tomamos un punto cualquiera del plano (x' , y', z'). Como es del plano cumple que:

Ax' + By' + Cz' + D = 0     [1*]

Un vector normal del plano, n, es el (A, B, C). Buscamos uno paralelo a él pero unitario:

|n| = √A² + B² + C²

n_u = n/|n|

Entonces se ve por el dibujo que:

d = O'P·cos α = O'P·n_u  (producto escalar)

siendo las componentes de O'P = (xo-x', yo-y',zo-z')

d = (xo-x', yo-y',zo-z')·n/|n| =  (xo-x', yo-y',zo-z')·(A, B, C)/|n| =

= (xo·A + yo·B + zo·C - (x'·A + y'·B + z'·C))/|n| =

de [1*] se despeja:   Ax' + By' + Cz' = -D y se sustituye en lo anterior:

= (xo·A + yo·B + zo·C + D)/|n| =

   xo·A + yo·B + zo·C + D
= -------------------------
     √A² + B² + C²

Completa tu perfil, por favor y de camino lee las normas. Gracias,

hola buenas, entiendo la explicación que has dado, pero eso solo sirve para la métrica euclídea que sería con la matriz identidad. ¿Como podría sacar la fórmula para cualquier métrica?

Muchas gracias de antemano.