Foros Ciencias Galilei

Hola!
Tengo este ejercicio hecho en clase pero tengo una duda en lo ultimo espero me puedan a razonarlo   :

1. Sea la curva:

F: x=4
   y= cos 2θ             donde: 0 ≤ θ ≤ π
   z=sen θ

Determinar las ecuaciones cartesianas de la curva.

Solucion:
y=cos 2θ ⇒ y= cos²θ - sen²θ ⇒ y=cos²θ -z²

pero sabemos que:   cos²θ  +  sen²θ = 1   ⇒  cos²θ = 1 - sen²θ

                            ⇒ cos²θ = 1- z²

Por lo tanto

⇒ y=1-z²-z² ⇒ y=1-2z²

Nos da como resultado:

F: x-4=0
  y+2z²-1=0

Evaluando 0 ≤ θ ≤ π  en y y z

si θ=0 : y=1  z=0
si θ=π : y=1  z=0

se obtiene z∈[0,1]  y  y∈[-1,1]  -----Estos intervalos son mi duda de donde se obtuvieron y cómo???

espero su ayuda... Gracias!

Nota: La gráfica es una parte de una parabola.

Hola,

y= cos 2θ             donde: 0 ≤ θ ≤ π
z=sen θ

y= cos 2θ  

Como 0 ≤ θ ≤ π   =>     0 ≤ 2θ ≤ 2π    =>       -1 ≤ cos 2θ ≤ 1  en ese intervalo   =>  -1 ≤ y ≤ 1

Pero en el intervalo 0 ≤ θ ≤ π    =>   0 ≤ sen θ ≤ 1     =>   0 ≤ z ≤ 1

y=cos(2θ)⇒y∈[-1,1]  porque los valores del seno de un ángulo oscilan entre -1y 1.
z²=sen²θ⇒z∈[0,1]     porque los valores del cuadrado del coseno de un ángulo oscila  entre 0 y 1.