Foros Ciencias Galilei

haciendo uso de la formula de De Moivre prueba que :

cos 4ρ = 8·cos⁴ ρ - 8·cos² ρ + 1

Hola,

(cos x + i sen x)ⁿ = cos nx + i sen nx

Escribiré (4,2) como el número combinatorio 4 sobre 2.

(cos x + i sen x)⁴ = cos 4x + i sen 4x =  (4,0) cos⁴ x + (4,1) cos³ x sen¹ x i - (4,2) cos² x sen² x - (4,3) cos¹ x sen³ x i + (4,4) sen⁴ x =

= cos⁴ x - 6 cos² x sen² x + sen⁴ x + (4 cos³ x sen¹ x - 6 cos¹ x sen³ x) i

Igualando parte real de ambos términos:


cos 4x = cos⁴ x - 6 cos² x sen² x + sen⁴ x =

= cos⁴ x - 6 cos² x (1-cos² x) + (1 - cos² x)² =

= cos⁴ x - 6 cos² x + 6 cos⁴ x + cos⁴ x - 2 cos² x + 1 =

= 8·cos⁴ x - 8·cos² x + 1

Tener en cuenta que sen² x = 1 - cos² x

Moivre (Wiki)
Binomio de Newton (Wiki)