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Hola, ¿me podrías ayudar con este ejercicio?

Dados el punto A(1,1,1) y la recta r dada por su ecuación general:

r:   x-y= -1
    y-z= 1
                                                

a) El vector u de la recta r.

b) El plano Π que contiene a la recta r y al punto A.

c)La recta s que pasa por el punto A, está contenida en el plano Π anterior, y su dirección es perpendicular a la de la recta r.


El a) me salió u=(1,1,1), pero el b y el c no consigo resolverlos.

Gracias de antemano.
Saludos

Hola,



r: x-y= -1
 y-z= 1                 Hacemos    y = λ

x = -1 + λ
y = λ
z = -1 + λ

El vector es  (1, 1, 1)     y   un punto de ella es el  (-1, 0, -1)



Buscamos otro vector paralelo al plano aparte del de la recta. Éste puede ser el que va de A a un punto de r, puede ser el (-1, 0, -1)

v = (1,1,1) - (-1, 0, -1) = (2, 1, 2)

El plano es el:





Tenemos que buscar un vector perpendicular al plano y a la recta r:

Perpendicular a (1, 1, 1) y al vector del plano calculado anteriormente (A, B, C). Esto se hace mediante el producto vectorial de ambos. Lamemos (a, b, c) a este vector. La ecuación de la recta será:

x = 1 + a·λ
y = 1 + b·λ
z = 1 + c·λ


Otra forma de hacerlo es buscar el plano que pasa por A y que tiene por vector normal el de la recta r:

x + y + z + D = 0      (pasa por (1, 1, 1))

x + y + z - 3 = 0

Este plano con el calculado anteriormante forman una recta que cumple las condiciones pedidas.

Muchas gracias!!