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Hola gente del foro, he llegado hasta aquí ya que varias veces encontré cosas que me ayudaron mucho en matemáticas.

He aquí la duda:

Dado el Punto P₁(3,4,5) y una recta 'r' determinada por su Ecuación Simétrica:

(x-2)/2 = (y+1)/3 = (z-4)/-1

Se necesita hallar la recta que pasa por P₁ y que es perpendicular a la recta dada.

Con esos datos no encontré forma de que me salga éste ejercicio... Si alguien pudiera echar una mano estaría enormemente agradecido.

Saludos.

Hola,

Se me ocurren dos maneras. Una es calcular el plano que pasa por P y que es perpendicular a 'r' (utiliza su vector). Luego calculamos el punto común de recta y plano y una vez determinados dos puntos de nuestra recta, sacamos su ecuación.

La otra, que es como lo vamos a hacer, es determinar el vector que pasa por P y es perpendicular a r:

Las ecuciones en paramétricas de 'r' son:

x = 2 + 2λ
y = -1 + 3λ
z = 4 - λ

Un vector que vaya de P a un punto cualquiera de 'r' es (restamos):

(2 + 2λ, -1 + 3λ, 4 - λ) - (3, 4, 5) = (-1 + 2λ, -5 + 3λ, -1 - λ)   [*]

Este vector ha de ser perpendicular a 'r' cuyo vector es (2, 3, -1). Su producto escalar debe valer cero:

(-1 + 2λ, -5 + 3λ, -1 - λ)·(2, 3, -1) = -2 + 4λ - 15 + 9λ + 1 + λ = -16 + 14λ = 0

λ = 16/14 = 8/7

Sustituimos en [*] para buscar el perpendicular:

(-1 + 2λ, -5 + 3λ, -1 - λ)  con  λ = 8/7  =>  (9/7, -11/7, -15/7)  que es paralelo a (9, -11, -15)

La recta pedida es (que pasa por P con este vector):

x = 3 + 9λ
y = 4 - 11λ
z = 5 - 15λ

Muchísimas gracias. Me sirvió mucho la ayuda.