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Hallar la ecuacion general del plano definido por la recta "r" y el punto P(3,6,-5). Hallar además los puntos de intersección de la recta "r" con los planos coordenados.

"r" = ( 3x-2y+z-1=0 ; x-y+z-2=0 )

Hola.

Pasamos la recta a paramétrica para buscar punto y vector de ella.

3x-2y+z-1=0    =>     3x-2y = 1 - z
x-y+z-2=0       =>     x-y = 2 - z      (esta por (-2))

3x-2y = 1 - z
-2x+2y = -4 + 2z   (sumamos)
------------------------
x = -3 + z

De x-y = 2 - z  =>    y = x + z -2 = -3 + z + z - 2 = -5 + 2z

La ecuaciones paramétricas de r:

x = -3 + λ
y = -5 + 2λ
z = λ

El plano que buscamos se define con un punto P(3,6,-5) y dos vectores paralelos: el de la recta (1,2,1) y el que va desde P al punto de r: (1,2,1) - (-3,-5,0) = (4,7,1) (o su opuesto)

El plano requerido:



Si no me equivoco sale:

5x - 3y + z + 8 = 0




x = -3 + λ
y = -5 + 2λ
z = λ

El plano XY viene dado por la ecuación z = 0  

x = -3 + λ
y = -5 + 2λ
z = λ = 0     =>     x = -3    y = -5     z = 0

Lo mismo para los otros planos: y = 0 ;  x = 0