Foros Ciencias Galilei

Hola.

Le dejo un archivo adjunto sobre tres preguntas de tipo test que tendo dudas.
Muchas gracias por todo y pienso que lo que usted hace es increible.

Hola,

(u+v)(u+v) = |u|²+|v|²+ 2u·v = |u|²+|v|²+ 2|u|·|v|·cos (u,v) = 0

Si  cos (u,v) = -1 y |u| =|v|

|u|²+|v|² - 2|u|·|v| = 0  =>   2|u|² - 2|u|² = 0

Mismos módulos y dependientes

También es cero cuando u = v = 0  

Otra forma de hacerlo:


(u+v)(u+v) = (u+v)² = |u+v|² = 0  =>  |u+v|= 0   =>  u = -v   o    u = v = 0

En este caso podemos hacer una excepción porque en realidad son matrices y determinantes. Daría igual ponerlos en Latex que subirlos en gráficos. El problema es que yo no me acuerdo cómo se hacen este tipo de problemas. A ver si hay un alma caritativa que te ayude. Lo único que he encontrado es esto:

Espacio Euclideo. Producto escalar (aq.upm.es)

Ahí habla de: Expresión matricial del producto escalar.

La base canónica del espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden 2 sobre el cuerpo real es la siguiente:



A los vectores del conjunto los vamos a llamar {e1,e2,e3,e4}

Como te pide la matriz asociada a la forma bilineal dada respecto a la base canónica tienes que hacer lo siguiente:


En general en el lugar ij de la matriz tienes que colocar f(ei,ej) donde f es la forma bilineal.

En este caso ademas se trata de un producto escalar así que la forma bilineal es simétrica ( f(ei,ej)= f(ej,ei) ) y su forma cuadrática asociada es definida positiva.
La posibilidad 1 esta descartada porque su dimensión no es la adecuada.

Entonces sería:



Por ejemplo (un poco al azar)
e1 * e1 = (1+0)*1+(2*0+0)*0+1*0+(0-0)*0 = 1
e1 * e2 = (1+0)*0+(2*0+0)+1*0+(0-0)*0 = 0
e2 * e2 = 2
e4 * e4 = -1

Con eso ya vemos que resulta ser la opción 4. Sin embargo el ejercicio esta mal planteado en el sentido de que no es en realidad un producto escalar, pues por ejemplo tenemos que f(e4,e4) < 0  o que f(e3,e3)= 0

Hola. Voy a resolver el último también.
El espacio vectorial de los polinomios con coeficientes reales y grado menor o igual que dos en la indeterminada x se denota por ℝ₂[x]. Su dimensión es 3 y la base canónica es B = {u₁,u₂,u₃} = {1,x,x²}

Entonces igual que antes hay que hallar la matriz asociada al producto escalar respecto de esa base:



Así que la matriz sería:



La opción correcta es la 1. Vamos a ver la 3 y la 4 de todas maneras.

Dos vectores (en este caso polinomios ∈ ℝ₂[x]) son ortogonales si se verifica que su producto escalar es nulo, pero tenemos que


La norma de un vector respecto del producto escalar se define como . Entonces se dice que un vector es unitario si tiene norma 1. Pero 1+x+x² no lo es:


Saludos

Gracias Zw91