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Hallar la ecuación de la recta cuya distancia del origen es P = 5 , y que pasa por el punto Q (1;7).

Hola, creo que es un poco largo.

Para determinar esa recta hay que calcular otro punto de ella. Llamemos (x,y) al punto que dista 5 unidades del origen. Del punto sabemos que:

x² + y² = 5²   (el punto debe pertenecer a una circunferencia de radio 5; tangente a ella)

y que contine a la recta que pasa por Q:

y - 7 = m·(x-1)  =>    y = m·(x-1) + 7

Eleva ésta y al cuadrado y la sustituyes en la primera ecuación:

x² + [m·(x-1) + 7]² = 25

Ordena los coeficientes de x² (a), de x (b) y el término independiente (c)

queda algo así:

(m²+1)·x² - 2m²·x + m²+14m-39 = 0

a = (m²+1)
b = - 2m²
c = m²+14m-39

Como la recta es tangente al círculo debe tener una única solución para lo cual el discriminante debe valer cero:

b² - 4·a·c = 0       de ahí sacas el valor de m (debe haber dos)

Cuando lo sepas lo sustutuyes en y = m·(x-1) + 7  (esa es la recta pedida)

Puede que haya un procedimiento más fácil pero ahora no se me ocurre otro.

bueno muchas gracias. Si se les ocurre otro procedimiento me seria de mucha utilidad.

Hola,

Se me ocurrió otra forma:

El punto (x,y) es de la recta que pasa por (1,7) y dista 5 del punto (0,0)

Los vectores que van desde el punto (x,y) al (1,7) → (x-1,y-7) y el que va desde (x,y) al (0,0) → (x,y) deben ser perpendiculares. Su producto escalar es cero:

x² + y² = 25

(x,y)·(x-1,y-7) = x² - x + y² -7y = 0    (producto escalar)

Resolvemos:

x² + y² = 25
-x² - y² + x + 7y = 0
------------------------
x + 7y = 25     =>    x = 25 - 7y

Sustituimos en la primera:

x² + y² = (25 - 7y)² + y² = 25

625 + 49y² - 350y + y² - 25 = 0

50y² - 350y + 600 = 0  (dividiendo por 50)

y² - 7y + 12 = 0

Despeja las dos soluciones (y1 y2) y la sustituyes en x = 25 - 7y para obtener las correspondientes x:

y² - 7y + 12 = 0

Las soluciones en y son:  y = 3   y = 4

x = 25 - 7y  

Para y = 3   =>  x = 4       =>   punto  (4,3)
Para y = 4   =>  x = -3      =>   punto (-3,4)

La recta que pasa por (4,3) y (1,7) tiene por vector (4,3) - (1,7) = (3,-4). Su ecuación es:

x = 1 + 3t
y = 7 - 4t

Lo mismo para el otro punto. Sacamos la otra recta:

(-3,4) - (1,7) = (-4,-3) Ξ (4,3)

x = 1 + 4t
y = 7 + 3t

Muchísimas gracias. Esa última resolución me resulto de mucha utilidad.