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¿ Cuál es el volumen de un paralelepípedo construido sobre los vectores a (3, 5, 7), b (4, 1, 2), c (3, 8, -1) ?.

Hola,

según veo en el dibujo eso es una especie de cuña cuyo volumen es la mitad que la del paralelepípedo. El volumen de éste se obtiene realizando el producto escalar de uno de los vectores (aristas) por el producto vectorial de los otros dos.

V = a·(bxc)

Esto es el determinante formado por los tres vectores:




El de la cuña es la mitad de ese volumen.

También se podría haber hecho calculando los módulos de los vectores y:

V = ½·S_base·h = ½(|a|·|c|)·|b|   (creo que el ángulo en primer plano es recto)

El volumen es la mitad del determinante cuyo resultado es 202, luego el volumén 101.

      Los ángulos que forman los vectores no son rectos.
                                                                                                          (a x b ) . c
  volumen = 1/2 |a x b | * ( | c | * cos ( ( a x b),c )) = 1/2 |a x b | * | c | −−−−−−−−−−− =
                                                                                                        | a x b | *  c

   = 1/2 ( a x b ) . c = 1/2 ( ( 5*2 - 7*1) , -( 3*2 - 7*4 ) , ( 3*1- 5*4 ) ) . c =

   = 1/2 (( 3, 22 , -17 ) . ( 3, 8, -1 )) = 1/2 ( 3*3 + 22*8 + 17*1 ) = 101