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Hay 2 problemas de geometria que no logro sacar.  Aver si podeis echarme una mano :)

1. Sea ABC un triangulo equilatero. A(-1,4,5) y el lado BC es la recta :(x-2)/2 = (1-y)/2 = z . Encuentra la coordenadas del punto B y C.

2. Encuentra la recta R , la cual es paralela a los planos π: x - y + 2z = -2  y ρ: x + 3z =6 y que corta las rectas p1 x=2 ,y/3=(z+1)/2  y p2  1-x = (y+2)/2 = z


Muchas gracias!

En un triángulo equilátero se verifica que la altura, h, y sus lados, L, tienen la siguiente relación:

h² + (L/2)² = L² => h = (√3/2)·L

h es la distancia del punto A a la recta de vector (2,-2,1)

Para ello buscamos un plano que pase por A y que sea ⊥ a la recta. Luego calculamos el punto de intersección de ambos (M). La altura será la distancia de A a M

Ese plano pasa por es el (-1,4,5) y tiene por vector el de la recta, luego la recta buscada es:

2x - 2y + z + C = 0　　(para que pase por A)

-2 - 8 + 5 + C = 0 => C = -5

El plano es:

2x - 2y + z - 5 = 0

La recta dada en paramétrica es:

x = 2 + 2t
y = 1 -2t
z = t

Sustituimos y queda:

2(2 + 2t) - 2(1 -2t) + t - 5 = 0 => t = 1/3

Sustituimos en la recta y queda el punto M:

x = 2 + 2(1/3)
y = 1 -2(1/3
z = (1/3)

Ahora calcula la distancia de este punto M al A y tienes h. Con h sacas L (2·h/√3)

Los puntos buscados son:

OM ± (L/2)·u

Siendo u un vector unitario de la recta que te dan:

u = (1/√5)·(2,-2,1)

Estrategía:

Los dos primeros planos, en su intersección, definen una recta (q). La recta buscada tiene que ser paralela a la recta (q), definida por la intersección de ambos planos. Utilizamos para la recta buscada el vector de dirección de la que es intersección de los planos (u). Este vector lo utilizaremos ahora

Sabemos que tiene que cortar a dos rectas, p1 y p2:

Buscamos el plano que contiene a la primera recta (p1) y como otro vector paralelo al plano el u (Se coge un punto de la recta p1 y su vector y como segundo vector el u). Es un plano que contiene a p1 y es paralelo a u.

Ahora se repite el proceso con p2. Otro plano que contenga a p2 y que sea paralelo a u.

Esos dos planos definen una recta que cortan a p1 y p2 y  y que es paralelo a u.  Es la recta buscada.