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Demuestre  que  la  ecuación para  calcular  la  distancia   entre  un punto  de  forma ( x_o, y_o)  y  una  recta de la forma Ax + By + C = 0,  está  dada  por :



Gracias!

La distancia de P a la recta es el módulo del producto escalar de PP₁ con u, siendo u un vector unitario perpendicular a ella y siendo P₁ un punto cualquiera de la recta.

Demostración:

Sea P₁ un punto (x₁,y₁) cualquiera de la recta. Por pertenecer a ella Ax₁ + By₁ + C = 0 　[1]

PP₁·u = |PP₁|·|u|·cos α = |PP₁|·cos α = d

Busquemos PP₁ = OP₁ - OP = (x₁,y₁) - (xo,yo) = (x₁-xo,y₁-yo)

Busquemos, ahora, un vector perpendicular a ella y unitario (módulo uno):

El vector de la recta es (-B,A). Uno perpendicular es el (A,B) (Su producto escalar es cero, luego son perpendiculares). Nos falta hacerlo unitario. Para ello se divide por su módulo (todo vector dividido por su módulo es unitario).

|V| = √(A²+B²)

El módulo del vector de la recta es el mismo que el perpendicular.

u = (A/|V|, B/|V|)

Ahora estamos en disposición de hacer el producto escalar de PP₁ con u para hallar d.

d = |PP₁·u| = |(x₁-xo,y₁-yo)·(A/|V|, B/|V|)| = |A·x₁ + B·y₁ - A·xo - B·yo|/|V|

pero sabemos por [1] que  A·x₁ + B·y₁ = -C

luego:

d = |A·x₁ + B·y₁ - A·xo - B·yo| / |V| =  |-C - A·xo - B·yo| / |V| = |A·xo + B·yo +C| / (√(A²+B²)