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Una de las dudas, para obtener el opuesto de un número Polar, hay un paso o fórmula para hacerlo o la única forma es pasarlo a forma binómica

Otras dudas son unas operaciones, me gustaria ver cada paso para hacerlas:

(1-i/i) elevado a dos -> Se hace antes la división o la potencia (Yo lo he hecho primero con la división y luego lo he elevado a dos

(2+i/i)(3+i/1+i)

Al pasar a forma polar  estos números me dan el mismo ángulo y creo que no lo puede ser:

4+4i
-4-4i

La última duda es: (La que más me interesa)

z4 + 81 = 0  -> Me debe salir una raiz negativa para pasarla a forma polar, pero tengo duda en como despejar z elevado a 4

Gracias

Del complejo R_ø su opuesto es R_(180+ø)



[(1-i)/i]²

Primero quitamos la i del denominador multiplicando por i en numerador y denominador:

[i·(1-i)/i²]² = [(i + 1)/(-1)]² = (-1-i)² = (1+i)² = 1 + i² + 2i = 2i

ya que i² = -1



Cuando le preguntas a la calculadora cual es el ángulo cuya tangente es x te dará sólo una de las soluciones , la otra es el ángulo más 180º (π rad)

ø = arctg 1 ⇒ ø₁= 45º y ø₂ = 45º + 180º (y vueltas). Primer y tercer cuadrante.

Tu debes saber cual escojer por las coordenadas del número: (4,4) es del primer cuadrante y (-4,-4) del tercero.



z⁴ = -81

z = ⁴√(-81) = ⁴√81_(180º)

Las cuatro soluciones son:

α_i = (β + 360º·K)/n

con módulo ⁴√81 = 3

donde K puede valer 0,  ... , (n-1).
n es el índice de la raíz.
En nuestro caso:

n = 4
K = 0, 1, 2, 3
β = 180

α_i = (180º+360º·K)/4 = 45º + 90º·K

α₁ = 45º
α₂ = 45º + 90º
α₃ = 45º + 180º
α₄ = 45º + 270º

Las soluciones son de  ⁴√-81:
3_(45º)
3_(135º)
3_(225º)
3_(315º)

Todos ellos, elevados a la cuarta, te darán -81

Ejercicios de la raíz de complejos (sectormatematica.cl)