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Metodo de Gauss. Sistemas homogéneos. Haciendo ceros. Compatible indeterminado (2ºBTO)

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Mensaje 02 Mar 09, 01:10  10143 # 1
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Hola, que tal, tengo un problemilla con las matrices.
No se muy bien como poneroslo asi os pongo 2 ejemplos que no me salen, y aver como lo haces  :roll:

Sistema 1:

0+y+z=1
x-y+0=1
x+2y+3z=-2

Sistema 2:

x-y+3z-14t=0
2x-2y+3z+t=0
3x-3y+5z+6t=0


El problema es que no se que hacer cuando una fila es proporcional a otra (primer caso), y tampoco se que hacer cuando hay dos incognitas.


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Mensaje 02 Mar 09, 02:18  10152 # 2
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 Enunciado 

Sistema 1:
0+y+z=1
x-y+0=1
x+2y+3z=-2



Escribámosla así:

1 　2 　3　-2
0 　1 　1 　1
1 　-1　0 　1

La primera la multiplicas por -1 y se la suma a la tercera:

1 　2 　3　-2
0 　1 　1 　1
0　-3　-3　3

Multiplica la segunda por 3 y se la suma a la tercera:

1 　2 　3　-2
0 　1 　1 　1
0 　0 　0 　0

Sistema compatible indeterminado. Hay que dejar dos incognitas en función de una tercera (parámetro)

Llamamos a　 z = t　 nos queda:

x + 2y = -2 - 3t
y = 1 - t

Ahora sustituimos y en la primera y obtenemos:

x + 2(1-t) = -2 - 3t => x = -4 -t

Las posibles soluciones son:

x = -4 - t
y = 1 - t
z = t

Repasar operaciones.


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Mensaje 02 Mar 09, 02:28  10153 # 3
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Citar:
y = 1 - t

no quedaria -1-t ?


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Mensaje 02 Mar 09, 02:39  10154 # 4
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No, el 1 está ya a la derecha de la igualdad


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Mensaje 02 Mar 09, 02:45  10155 # 5
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 Enunciado 

x-y+3z-14t=0
2x-2y+3z+t=0
3x-3y+5z+6t=0


La primera por -2 se suma a la segunda y la primera por -3 a la tercera:

1 　-1 　3 　-14　 0
0　 0　 -3　  29　 0
0　 0　 -4　 48　  0

La única forma que se cumpla las dos últimas es que z = t = 0. Luego (en la primera ecuación):

x - y = 0 => x = y = λ (parámetro)

Sistema compatible indeterminado.

La soluciones son:

x = λ
y = λ
z = 0
t = 0


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Mensaje 02 Mar 09, 02:47  10156 # 6
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Osea que si me quedan incognitas y no hay posible deducion, llamo a las incognitas parametros no ?


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Mensaje 02 Mar 09, 02:54  10157 # 7
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Se llama rango al número de filas no nulas (independientes), en este último problema 3.

El número de parámetros es igual al número de incognitas (4)  menos el rango de la matriz (3) (para que tenga solución el rango de la matriz de los coeficientes y ampliada deben ser iguales)

En el primer problema:

incognitas 3 - Rango 2 = 1 parámetro


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Mensaje 02 Mar 09, 02:55  10158 # 8
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Intenta resolver este 'sistema':

x + y + z = 1

:P:


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Mensaje 02 Mar 09, 03:02  10161 # 9
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no se, diria que x=y=z= parametro
pero mas bien porque no se que decir  :think:


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Mensaje 02 Mar 09, 03:08  10162 # 10
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La matriz sería:

1 1 1 1

Tiene rango 1 porque hay una sóla fila independiente (no nula). Luego:

Incognitas 3 - rango 1 = 2 parámetros

y = λ
z = μ

x = 1 - y - z

Las soluciones son:

x = 1 - λ - μ
y = λ
z = μ

Para cualquier valor de λ y μ se obtienen una terna (x y z) que cumple con el 'sistema'


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