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A) Hallar el punto simétrico de (3,2,1) con respecto a la recta de ecuación:

L = {(1,2,1) + t(2,3,2√3)}

B) Determinar la ecuación de un plano paralelo a P: 2x + 3y + z = 20 y que se encuentra a una distancia igual a 4 unidades del punto (3,4,0)

C) Determinar la ecuación del plano que pasa por la intersección de los planos:
P₁: 2x - y - 5z = 4        P₂: 3x + y - z =  0
y es paralelo al plano P₃: 12x - y - 17z + 14 = 0

Hola Marlon,

A) Hallar el punto simétrico de P(3,2,1) con respecto a la recta de ecuación:

L = {(1,2,1) + t(2,3,2√3)}

Este problema hay que reducirlo al cálculo de punto simétrico respecto a otro punto. Hay dos formas de hacerlo. Podemos calcular el plano que pasa por P y es perpendicular a la recta L. Después buscamos el punto Q intersección de ese plano con la recta  y hacemos el simétrico de P respecto a Q.

El otro método consiste en calcular un vector que vaya de P a un punto Q de L y que sea perpendicular a la recta.

Voy a utlizar el primer método:



Plano perpendicular a L que pase por P. Utilizamos como vector normal del plano el director de la recta:

2x + 3y + 2√3z + D = 0       Pasa por  P(3,2,1):

6 + 6 + 2√3 + D = 0      D = -12-2√3 = -2(6+√3)

El plano buscado es:

2x + 3y + 2√3z - 2(6+√3) = 0

Para ver el punto de corte con L sustituimos las paramétricas de la recta en el plano:

2(1+2t) + 3(2+3t) + 2√3(1+2√3t) - 2(6+√3) = 0

Operando:

2 + 4t + 6 + 9t + 2√3 + 12t -12 - 2√3 = 0     Simplificando:

-4 + 25t = 0         t = 4/25

Nos vamos a la recta, sustituimos t y tenemos Q.

(x,y,z) =(1,2,1) + (4/25)(2,3,2√3)} = (1+8/25, 2+12/25, 1+8√3/25)

Ahora hacemos:

OP' = OP + 2PQ

siendo PQ = OQ - OP = (1+8/25, 2+12/25, 1+8√3/25) - (3,2,1) = (-2+8/25, 12/25, 8√3/25)

OP' = OP + 2PQ = (3,2,1) + 2·(-2+8/25, 12/25, 8√3/25) = (-1+16/25, 2+24/25, 1+16√3/25)

Repasa los cálculos.

Si es paralelo a P, la ecuación debe ser:

2x + 3y + z + D = 0         (mantenemos el vector normal)

La distancia de un punto (xo, yo, zo)  a un plano Ax + By + Cz + D = 0 es (única fórmula que utilizo):
     
       Axo + Byo + Czo + D
d = | --------------------- |     (|| es valor absoluto)
          √A² + B² + C²

Luego:

        2·3 + 3·4 + 0 + D       18 + D
±4 = ------------------ = ---------      (*)
        √2² + 3² + 1²            √14

18 + D = ±4·√14        =>   D = -18 ± 4·√14

Hay dos planos que cumple la condición.

(*)   |x| = K     =>    x = ±K

Distancia punto plano (ditutor.com)

Todo plano que pasa por la intersección de los los primeros tiene por ecuación (haz de planos):

(2x - y - 5z - 4) + t·(3x + y - z) = 0

(2+3t)x + (-1+t)y + (-5-t)z - 4  = 0

Como ambos planos deben ser paralelos, sus vectores deben ser proporcionales:

 (2+3t)         (-1+t)         (-5-t)
---------- = ---------- = ---------
    12             -1               -17


 -(2+3t) = 12·(-1+t)        y    17·(-1+t) = (-5-t)

t = 2/3      cumple ambas ecuaciones. Luego el plano buscado es:

(2x - y - 5z - 4) + (2/3)·(3x + y - z) = 0

4 x - y/3 - (17/3) z - 4 = 0

12x - y - 17 z - 12 = 0