Foros Ciencias Galilei

1) Dadas las rectas

r  (x-1)/1 = (y-2)/1= (z-1)/2

s  ( x-3)/(-2) = (y-3)/(-1) = (z+1)/2

averiguar su posicion relativa, calculando el punto de corte si fueran secantes.



2) Estudiar la posición relativa de ls rectas cuyas ecuaciones paramétricas son r:

x = t                      x = 2 + 2s
y = 2 - t                 y =    - 2s
z = 1 + 3t               z = 7 + 6s

Hola,

Vamos a ver si las rectas son paralelas o coincidentes, para ello estudiamos sus vectores:

r → (1, 1, 2)

s → (-2, -1, 2)

No lo son pues sus vectores no tiene las componentes proporcionales.

(1, 1, 2) ≠ k·(-2, -1, 2)

Vamos a tomar el vector que va desde un punto de una a un punto de la otra:

Ar = (1, 2, 1)   Punto de r
As = (3, 3, -1)  Punto de s

RS = (3, 3, -1) - (1, 2, 1) = (2, 1, -2)

Si el rango de los vectores r, s, y RS es dos es que se cortan. Si es tres, se cruzan.

Como el vector RS es paralelo a s, el rango es dos y se cortan.

Para hallar el punto de corte:

La recta r tiene por ecuación:
x = 1 + λ
y = 2 + λ
z = 1 + 2λ

La recta s:

x = 3 - 2μ
y = 3 - μ
z = -1 + 2μ

Con las dos primeras ecuaciones de ambas rectas resolvemos el sistema en λ y μ:
x = 1 + λ = 3 - 2μ                 =>   λ + 2μ = 2
y = 2 + λ = y = 3 - μ             =>   λ + μ = 1

λ + 2μ = 2
-λ - μ = -1
---------------
     μ = 1         =>    λ + 1 = 1  =>   λ = 0

La tercera ecuación (z) se verifica: z = 1 + 2λ = z = -1 + 2μ   para λ = 0   y  μ = 1

Sustituyendo estos parámetros en r o s:

El punto de corte es el (1, 2, 1)

r:                          s:

x = t                      x = 2 + 2s
y = 2 - t                 y =    - 2s
z = 1 + 3t               z = 7 + 6s


Vector de r (1, -1, 3)            de s (2, -2, 6)
Punto de r   (0, 2, 1)             de s (2, 0, 7)

Comprobemos si son paralas:

(2, -2, 6) = 2·(1, -1, 3)

Sus componentes son proporcionales luego son paralelas. Vamos a ver si son coincidentes. Si lo son el vector que va de un punto de una a un punto de la otra deberá ser paralelo a sus vectores:

RS = (2, 0, 7) - (0, 2, 1) = (2, -2, 6)

Si lo es, luego son coincidentes.

También se puede probar que lo son (cuando son paralelas de antemano) sustituyendo un punto de una de ellas en la otra y viendo si también cumple su ecuación.