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Hola.

Dada la aplicación f:ℝ² → ℝ³ /f(x)= (x₁-x₂, x₁+x₂, x₁)   ∀x = (x₁,x₂,x₃) ∈ ℝ³.

Hallar respecto de la base canónica:

-Matriz asociada a la aplicación.
-Base del núcleo o ker y su dimensión.
-Base de la imagen y su dimensión.
-Ecuaciones de la aplicación.

Hola,

f:ℝ2 → ℝ3 /f(x)= (x₁-x₂, x₁+x₂, x₁)   ∀x = (x₁,x₂,x₃) ∈ ℝ3.

La aplicación lineal queda conocida cuando se conoce cómo se transforma los vectores de una base:

Vamos a ver cómo se transforma la base canónica {e₁, e₂, e₃}:

f(e₁) = f(1,0) = (1, 1, 1) = e₁ + e₂ + e₃

f(e₂) = f(0, 1) = (-1, 1, 0) = -e₁ + e₂ + 0e₃

Cualquier vector de ℝ² se transforma según:

v = x₁·e₁ + x₂·e₂

f(v) = x₁·f(e₁) + x₂·f(e₂) = x₁·(1, 1, 1) + x₂·(-1, 1, 0) =

(x₁ - x₂, x₁ + x₂, x₁)

El nucleo está formada por:

x₁ = 0
x₁ - x₂ = 0
x₁ + x₂ = 0

Las soluciones son:

x₁ = 0
x₂ = 0

Un vector de una base del nucleo es (0, 0). Dimensión 0

Los transformados de los vectores de una base son generadores de Im f.

La dimensión de Im f es 2 y una base es:

(1, 1, 1)  y  (-1, 1, 0)

así se cumple que:

dim R² = dim Nuc + dim Im f = 0 + 2 = 2

La matriz que define la aplicación lineal es: