Foros Ciencias Galilei

Dada la función:

                2
f(x) = ------------
           e^x + e^-x
                             
Determinar:

1) Comportamiento de f(x) cuando x---> ±∞
2) Intervalos de crecimiento y decrecimiento
3) Regiones de concavidad

Gracias, de antemano.

Hola,



lim e^x = lim e^-x = ∞
x→∞      x→-∞

lim e^-x = lim e^x = 0
x→∞      x→-∞

De lo anterior se deduce que:

lim f(x) = 0         Asintota horizontal   y = 0  (eje X)
x→±∞



              -2(e^x - e^-x)
f'(x) = ------------------ =
               (e^x + e^-x)²

f'(x) = 0     e^x - e^-x = 0         e^x = e^-x       x = 0

Si x < 0    =>   f'(x) > 0      Creciente
Si x > 0    =>   f'(x) < 0      Decreciente

En (0,1)  hay un máximo



                (e^x + e^-x)²(e^x + e^-x) - 2(e^x + e^-x)(e^x - e^-x)(e^x - e^-x)
f''(x) = -2 ------------------------------------------------------------------ =
                              (e^x + e^-x)⁴

        (e^x + e^-x)² - 2(e^x - e^-x)²             e^2x + e^-2x + 2 - 2e^2x - 2e^-2x + 4
= -2 ------------------------------- = -2· ----------------------------------------- =
                  (e^x + e^-x)³                                       (e^x + e^-x)³

          e^2x + e^-2x - 6
= 2 ------------------------
              (e^x + e^-x)³

f''(x) = 0             e^2x + e^-2x - 6 = 0    Hacemos        e^2x = t  =>   t + 1/t - 6 = 0 =>

t = 3 ± 2√2            t + 1/t - 6 = 0

e^2x = t         =>      x = ½·ln t = ½·ln (3 ± 2√2) ≈ ± 0,88

Si x < -0,88   o   x > 0,88     f''(x) > 0  =>   U+

Si x  -0,88 < x < 0,88     f''(x) < 0  =>   ∩-



Función en trazo rojo y derivada