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Tengo varios ejercicios de Series de Fourier en donde me piden hallar la serie en tèrminos sòlo de senos o cosenos, pero tengo dificultades cuando la funcion es par o impar. Uno de ellos es el siguiente:

Hallar la serie de fourier de senos para la funcion f(x) = lxl para -π< x < π . Yo intento hacer la definiciòn de Fourier para senos, pero evidentemente da cero, ya que la funcion es par. Por otrolado, intento mover el intervalo o hacer una nueva definiciòn de la funciòn, pero no me sale algo que represente bien la funcion original. Alguien podrìa ayudarme para guiarme con los otros ejercicios?. Gracias.

Hola,

Por lo pronto he encontrado la solución.

Halle la serie de Fourier de la función definida sobre [-π; π]: f(t) = |t|.

                           _∞   cos (2n-1)t
soluc:  (π/2) - (4/π)∑ -----------------
                           ¹    (2n - 1)²

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Series de Fourier (ocw.uniovi.es)

En primer lugar, tienes una función par, como bien has dicho, ya que f(x)=|x|, en el intervalo -Π<=x<=Π responde a f(x)=f(-x) ∨x∈ℝ en el intervalo I, por lo tanto, la serie de fourier será solo de cosenos, y por lo tanto, b0=0, y de periodo 2π, ahora bien, como te piden la serie de senos, tienes que crear la extensión impar de la función, y para poder hacerlo, tenemos que tener en cuenta que f(x)=-f(-x) para las funciones impares, así que, la función nueva será:
       |-|-x| si -3π<=x<-π
g(x)=|  0 si x=-π
       ||x| si -π<x<=π

por lo tanto, tenemos una función definida en 4 trozos y de periodo 4π, pero aun así, nosotros queremos la parte de la función definida en el intervalo I, por lo tanto, recurrimos a coger de nuevo la parte del valor absoluto de x. Además, b0 sigue siendo 0, por lo tanto, la serie no tendrá termino independiente.

determinamos la frecuencia de paso, siendo la frecuencia ω=2π/T siendo T el periodo, que era 4π, por lo tanto ω=1/2

f(x)~Σ_n=1^∞ b_n sen(nωx)

y ahora sí que puedes desarrollar la serie en senos
b_n=1/π[∫_-π⁰ (-xsen(nx/2))dx +∫₀^π (xsen(nx/2))dx]

chequealo. Espero haberte sido de ayuda.€

he resuelto tu ejercicio, y sería algo así, a ver que te parece:

b_n= (-4/n)cos(n π/2) +(8/π n²)sen(n π/2)

por lo tanto, tenemos dos casos, si n es un número par,n=2n, b_n=(-2/n)cos(n π)= (-2/n)(-1)ⁿ
y si n es un número impar, n=2n+1, b_n=[8/(2n+1)²π](-1)ⁿ⁺¹

así que la serie de fourier en senos quedaría, en este caso como:
         ∞                              ∞
f(x)~-2Σ (1/n)(-1)ⁿ sen(nx) +8Σ[1/(2n+1)²π](-1)ⁿ⁺¹ sen((2n+1)x/2)
        n=1                            n=0

a ver si te sirve compa, un abrazo.