Foros Ciencias Galilei

De nuevo, yo!
Buenas, vengo de nuevo a este foro, y con el mismo tema, en serio, no lo entiendo, por esta razón, y de igual manera agradeciéndoles por la ayuda prestada en el anterior, LES PIDO POR FAVOR, que sean un poco explicitos, Por favor  
Además, de que al intentar realizar, este tipo de ejercicios, se me es por completo, una gran DIFICULTAD.    
Muchas gracias, por su atención, y obviamente gracias, por su ayuda! Son GENIALES!    

Aquí vamos!

◘ Utilice el principio de inducción matemática para demostrar que el enunciado dado es cierto para todos los números naturales n.
                                       n
• 1*3+2*4+3*5+...+n(n+2)= ---(n+1)(2n+7)
                                       6
                         
•1³+2³+3³+...+n³= ¼n²(n+1)²
                         
◘ Encuentre cada una de las sumas.

3/9 + 3²/9 + 3³/9 +...+ 3ⁿ/9

◘ Determine si la sucesión dada es aritmética, geométrica, o ninguna de los dos. Si la sucesión es aritmética, encuentre la diferencia común y la súma de los primeros n términos. Si la sucesión es geométrica, encuentre la razón común y la suma de los primeros n términos.

5, -5/3, 5/9, -5/27, 5/81,...

Les agradezco por su colaboración    

Suponemos como cierta que la suma de los primeros (n-1) términos vale:

(En la expresión Sn = ¼n²(n+1)²    cambiamos  'n'  por   'n-1')

S_n-1 = ¼(n-1)²(n-1+1)² = ¼n²(n-1)²

(Se supone para n-1 y se demuestra para 'n' =>  inducción)

Ahora tenemos que probar de S_n-1 + a_n = S_n

a_n = n³
                                         ↓ sacando factor común n²                 
S_n-1 + a_n = ¼n²(n-1)² + n³ = n²·(¼(n-1)² + n) = n²·(¼n² + ¼ - n/2 + n) =

= n²·(¼n² + ¼ + n/2) = n²·(¼n² + ¼ + 2n/4) = ¼·n²·(n² + 2n + 1) = ¼·n²·(n + 1)² = S_n  cqd

(1/9)·(3 + 3² + 3³ + ... + 3ⁿ)

(3 + 3² + 3³ + ... + 3ⁿ)

Progresión geométrica con  a₁ = 3  y  r = 3

a_n = 3·3^n-1

            rⁿ - 1            
S_n = a1 --------- = (3/2)·(3ⁿ - 1)
             r - 1

Ahora añadimos el factor (1/9) = 3^-2

(1/9)·(3 + 3² + 3³ + ... + 3ⁿ) = (1/6)(3ⁿ - 1)

Si divides cada término por el anterior te dará (-1/3)

Es una progresión geométrica de  a₁ = 5   y   r = -1/3

            rⁿ - 1            (-1/3)ⁿ - 1
S_n = a1 --------- = 5·------------- = -(15/4)·(-3^-n - 1)
            r - 1               (-4/3)

1)En primer lugar, nótese que 1(3)=1(2)(1*2+7)(1/6)
Ahora, demostraremos que si la afirmación escrita en el enunciado es correcta para n, también lo será para n+1.
1*3+2*4+3*5+...+n(n+2)=n(n+1)(2n+7)(1/6)
Sumando (n+1)(n+3) a ambos miembros :
1*3+2*4+3*5+...+n(n+2)+(n+1)(n+3)=n(n+1)(2n+7)(1/6) + (n+1)(6n+18)(1/6)=[(n+1)(1/6)][2n*n+ 7n+(6n+18)] = [(n+1)(1/6)][2n*n+13n+18]
=  (n+1)(1/6)(2n+9)(n+2)

Que es lo que queríamos probar.

2)Análogamente, sabemos que 1³ =[1(1+1)(1/2)]²
Solo hay que probar que si 1³+2³+3³+...+n³=[n(n+1)(1/2)]², →1³+2³+3³+...+(n+1)³=[(n+1)(n+2)(1/2)]²
Partiremos de 1³+2³+3³+...+n³=[n(n+1)(1/2)]²
Sumemeos (n+1)³ a ambos miembros
1³+2³+3³+...+n³+(n+1)³=[n(n+1)(1/2)]²+(n+1)³=[n+1]²[n²/4+(4n+4)/4]=[n+1]²[n²+(4n+4)](1/4)=[(n+1)(n+2)(1/2)]²
Por lo tanto 1³+2³+3³+...+a³= [a(a+1)(1/2)]²,∀a∈IN

Muchas Gracias, y perdón a quién me respondió primero (Galilei)...de no haberle agradecido antes...de corazón les agradezco