Foros Ciencias Galilei

Sabiendo que:

lim   (a·sen(x)- x·.e^x)/x²
^x→0

es finito, calcula el valor de a y el de dicho límite.

Hola,

a.sen x - x.e^x
--------------
       x²

El límite es indeterminado 0/0. Aplicanco L'hopital (derivando numerador y denominador):

a·cos x - x·e^x - e^x
-------------------
         2x

Cuando x → 0   queda:

 a - 1
----------
  2x

Si x → 0, para que pueda ser finito debe quedar indeterminado, por lo tanto a = 1 (quedando 0/0)

Si a ≠ 1 el límite sería ∞

Para calcular el límite cuando a = 1 sustituimos el valor:

1·cos x - x·e^x - e^x
-------------------
         2x

y derivamos de nuevo:

-sen x - x·e^x - e^x - e^x       -sen x - x·e^x - 2e^x        - 2
---------------------- = --------------------- = ------- = -1
             2                                 2                      2