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Hola, no llego a la respuesta correcta de este ejercicio:

Hallar todos los pares de números reales a y b para los que la función f resulta continua en todo ℝ:

F(x)=

[√(x+3)-√(3x+1)]/(√x-1)          si x>1

ax+b           si -2≤x≤1

(x²+2x)/(x²+x-2)    si x<-2

- Hola, Vicky. Ordenando esto un poco, tenemos:


                  x²+2x
               ---------            si x < -2
                 x²+x-2

            
 f(x) =        ax + b               si  -2 ≤ x ≤ 1

         
              √x+3 - √3x+1         
              ----------------      si  x > 1
                  √x - 1


x²+x-2=0 => x=1, x=-2
El primer tramo, expresión racional, anularía su denominador cuando x=1 ó x=-2, pero esos valores quedan fuera del dominio de esta expresión, así que el primer tramo es siempre continuo si x<-2.

El segundo tramo, f(x)=ax+b, será siempre continuo por polinómico en -2<x<1

El tercero, expresión irracional, produce radicandos positivos si x>1, tal como le correponde. El denominador no se anulará si x>1, luego esta 3ª expresión es una función siempre continua.

Entonces f(x) tiene asegurada la continuidad si x≠-2 y x≠1. Para x=-2 y x=1 hay que hacer un estudio aparte.

Continuidad en x=-2

f(x) será continua en x=-2  <==>  f(-2) = lím f(x) = lím f(x)
                                                        x→-2^-         x→-2⁺

   f(-2) = a*(-2) + b = -2a + b

               (-2)² + 2*(-2)
    lím      ---------------- =  0/0  indeterminado    (como es x<-2, tomamos este 1er tramo de f(x))
   x→-2^-     (-2)²+(-2)-2
                                   
                                      2x + 2
         Por L'Hôpital:  lím    ---------  = -2/-3 = 2/3
                            x→-2^-    2x+1


   lím  (ax+b) = a*(-2)+b = -2a + b   (como ahora es x>-2, tomamos este 2º tramo)
 x→-2⁺

Bien, entonces debe ocurrir que -2a + b = 2/3 para que f(x) sea continua en x=-2

Necesitamos otra ecuación. Estudiando la continuidad ahora en x=1:

Continuidad en x=1 :

f(x) será continua en x=1 si y solo si f(1) = lím f(x) = lím f(x)
                                                          x→1^-          x→1⁺


    f(1) = a*1+b = a + b

          √x+3 - √3x+1
   lím   --------------  =  0/0   indet.
  x→1+     √x - 1

 Siendo 0/0, podemos aplicar L'Hôpital:

                  1                 3
             --------  -  ----------
             2√(x+3)      2√(3x+1)          1/4 - 3/4        -1/2
   lím   --------------------------  = ------------ = ------- = -1
  x→1+                 1                             1/2             1/2  
                        -----  
                         2√x


   lím  (ax+b) = a + b  
  x→1-


  Igualando estos valores, se debe cumplir que a + b = -1 para que f(x) sea continua en x=1.


                                               2a+b= 2/3   
                                            /  
Entonces resolvemos el sistema  
                                           \
                                              a + b = -1

Restando a la 1ª la 2ª: a = 2/3+1 => a = 5/3    

b = -1- a => b = -1-5/3 => b = -8/3

Si a = 5/3 y b = -8/3, f(x) será siempre continua en ℝ

¡Vamos!

Muchas gracias me habia confundido al derivar la raíz, porque derivé las raíces pero no había multiplicado por la derivada de lo que hay dentro de la raiz

y otra cosa, en el ejercicio yo quise escribir
√(x+3)-√(3x+1)/√(x-1)

osea que la raíz abarca a todo el (x-1)
por eso me da diferente la solución

igual recién me acabó de salir  

me dió a:-2/9 y b:2/9