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Hola,
hallar todos los pares de números reales a y b que verifican simultáneamente:

lim (√ax²+bx+1-1)/x = 3
^x→0

(Nota: la raíz abarca hasta el +1)

lim (√ax²+bx+1-1)/x = 2
^x→+∞

(la raíz abarca hasta el +1)

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el primero me dá una indeterminación del tipo 0/0
para salvarla multiplique al nominador y denominador por el conjugado del término con raíz, seguro lo hice mal, pero me dió:
a=(3bx^1/2 +6-b)/-2x


el segundo me dá una indeterminación del tipo ∞/∞
para salvarla dividí al nominador y denominador por la potencia de mayor grado, pero me da cualquier cosa (no me sale).

por último yo tendría que igualar a1=a2 para determinar el valor de b y luego reemplazarlo en cualquiera de las dos funciones, obteniendo de ese modo el valor de a.
Ese es el procedimiento que yo seguiría para resolverlo, pero me quedo travada al querer salvar la indeterminación. El procedimiento por lo menos está bien planteado?

Hola,

lim (√ax²+bx+1-1)/x = 3
^x→0


lim (√ax²+bx+1-1)/x = 2
^x→+∞

Empezamos con el primero multiplicando y dividiendo por el conjugado del numerador:

(√ax²+bx+1-1)(√ax²+bx+1+1)     (√ax²+bx+1)² - 1²           x·(ax+b)              (ax+b)
---------------------------- = -------------------- = ----------------- = --------------
  x √ax²+bx+1+1                       x √ax²+bx+1+1          x √ax²+bx+1+1     √ax²+bx+1+1)

Cuando x→0 nos queda:

b/2 = 3     b = 6

Ahora procedemos con el otro dividiendo por x numerador y denominador (dentro de la raíz, al cuadrado)

lim (√a+b/x+1/x²-1/x) = √a = 2     =>    a = 4
^x→+∞

Gracias !