Foros Ciencias Galilei

Hola a todos, recientemente entre en este foro con la intencion de conocer mas el mundo científico,
por ahora solo quisiera saber si hay alguien que se sabe o conozca la demostracion de la regla de L'Hopital, el que se usa para calcular límites de la forma 0/0, etc
de antemano gracias...

Hola Alinju, bienvenido al foro.

El teorema de Lhópital está fundamentado en el teorema del valor medio de Cauchy que reza:

Sean f(x) y g(x) continuas en [a,b] y derivables en (a,b); si f'(x) y g'(x) no se anulan simultaneamente, entonces existe un c tal que:

f(b) - f(a)
------------ = f'(c)/g'(c) con c perteneciente al intervalo (a,b)
g(b) - g(a)

Supongamos que tanto f como g se anulan en a. f(a)=g(a)=0

entonces:

Lim f(x)/g(x) = f(a)/g(a) = 0/0
x→a

Si restamos en el numerador f(a) y en el denominador g(a) (son ambos ceros), nos queda:

f(x) - f(a)
------------ = f'(c)/g'(c) con c perteneciente al intervalo (x,a) (como dice el teorema de Cauchy)
g(x) - g(a)

Ahora bien, si hacemos el límite cuando x→a, entonces c→a ya que c debe estar dentro del intervalo (x,a). Luego:

　　　f(x)
Lim ------- =
^x→a　g(x)

　　　　f(x) - f(a)
= Lim ------------- = f'(a)/g'(a)
^x→a　　g(x) - g(a)

Buenas! Ahora si! Lo habia postiado mi duda en cualquier parte

Tengo problemas para visualizar el teorema de Cauchy.
Me podrian enviar o mostrar un grafico hacerca de la demostracion que se explica a Alinju

desde ya, muchas gracias!
saludos
nico

Para poder entender el teorema de Cauchy antes hay que ver el del valor medio, a pesar de ser este una consecuencia del de Cauchy.

Viene a decir:

Si una función es continua en [a,b] y derivable en un intervalo (a,b), existe un punto c, interior al intervalo tal que f'(c) es igual a:

f(b) - f(a)
----------- = f'(c)
　b - a

El término de la izquierda es la pendiente media de una función en el intervalo [a,b]. Si te gusta el ciclismos lo entenderás. Imagina una carretera que está situada en un sólo plano y que una etapa empieza en el km 10 de una carretera (eje X), a una altura de 500 m (eje Y) y acaba en el Km 70 (eje X) de esa misma carretera a una altura de 1500 m (eje Y), la pendiente media es de:

f(b) - f(a)　　　1500 - 500　　　　1000
----------- = --------------- = ---------- = 0,01 (1 %)
　b - a 　　　　(70-10)·10³　　　60·10³

Pues bien, el teorema afirma que hay un punto 'c' en esa carretera en la que la pendiente es la misma que la media. En el gráfico se ve bien esto que comentamos:




Vamos ahora al teorema de Cauchy:

Este teorema hace referencia a dos funciones f(x) y g(x):

f(b) - f(a)　　　f'(c)
------------ = -----
g(b) - g(a)　　g'(c)

Para entenderlo, comparando con el anterior, dividimos numerador y denominador por (b-a):

[f(b) - f(a)]/(b-a)　　　f'(c)
------------------- = -----
[g(b) - g(a)]/(b-a)　　g'(c)

El numerador de la izquierda representa la pendiente media de f(x) en el intervalo [a,b]

El denominador de la izquierda representa la pendiente media de g(x) en el intervalo [a,b]

El cociente representa cuántas veces es mayor la pendiente media de f(x) que la de g(x) en ese intervalo. Pues bien, el teorema dice que hay un punto 'c' en el que la razón de las pendientes de las rectas tangentes en ese punto es la misma que la de sus pendientes medias.

Supongamos que una carretera (función) tiene una pendiente media doble que otra, pues debe haber un punto en el que la pendiente de la recta tangente de una es doble que la pendiente de la recta tangente en la otra.

Esto no lo represento porque es difícil de hacer. Hay que imaginárselo....

P.D. No hace falta que busque un mensaje relativo a lo que quieras preguntar, puedes hacerlo en un nuevo tema; eso sí, en su foro correspondiente.  

Muchas gracias Galilei!
Es bueno encontrar un lugar con gente que realmente sabe y comparte su conocimento (en forma gratis!!!!!), como Vos.
saludos!
Otra vez, muchas gracias
nico
(Feliz porque entendi!    )

Para qué mencionaste lo de gratis? Ahora se va a avivar y nos va a cobrar un euro por problema resuelto

Yo creo que mucha gente lo pagaria!!

Tengo que hacer un trabajo monografico sobre el teorema de L´Hopital y necesito saber la demostracion, lo que uds dieron en lineas anteriores creo que esta bien, pero podrian resumirlo porfavor?

Ya está resumido solo lee.