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    e^x
---------
x² + e^x

Limite de f en ∞ y -∞
Monotonia y extremos relativos

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GRACIAS!

-Hola, Cris.
                                                           e^x
                                        Sea f(x)=  --------
                                                       x² + e^x
                       e^x
a)  lím        --------               
     x→+∞    x² + e^x                                  
(en este apartado, por abreviar, lím   será  solo  lim).
                                           x→+∞
Sustituyendo directamente tenemos
                 +∞
 lim f(x) = ------- ,
                 +∞
que es indeterminado [el método empleado "no decide". Hay que buscar otro para que aflore el verdadero valor].

                   g(x)                                                                                            g(x)         g'(x)
Por ser f(x) = ----- y ser indet. de la forma ∞/∞, aplicamos la Regla de L'Hôpital:  lim  ---- = lim -----
                   h(x)                                                                                            h(x)         h'(x)  

                                                                                                   e^x                 e^x               e^x
Aplicando L'Hopital hasta que deje de producirse ∞/∞   : lim f(x) = lim -------- = lim -------- = lim ----- = 1
                                                                                                 2x + e^x           2 + e^x           e^x
[Cada vez que se aplique L'Hopital, hay que indicarlo].
            
                       e^x
b)  lím        --------               
     x→-∞    x² + e^x                                                                                 0
Sustituyendo directamente, y considerando que e^-∞=0, tenemos  lím   f(x) = ------- = 0
                                                                                        x→-∞        +∞ + 0
(0 caramelos entre ∞ niños no es nada indeterminado)

-Holahola.
                              e^x
                  f(x) = ----------
                            x² + e^x
Para el estudio del crecimiento/decrecimiento (monotonía) y de los máximos y mínimos (extremos relativos), seguiremos el criterio de la derivada primera. Pero antes es necesario conocer el dominio de la función [saber qué valores puede tomar x y cuáles no].

la expresión e^x existe siempre; el denominador no puede anularse por no hacerlo nunca x² ni e^x, luego
    Dom (f) = ℝ  [a la fción. puede dársele cualquier valor de x, que "responderá"].

Criterio de la derivada primera: Comprobamos dónde (de)crece f(x) y, en consecuencia, si tenemos máx o mín:
 

                                                  f '(x) = 0=> obtengo x₀, x₁, x₂... posibles extremos relat.
                                               /
 Sea f '(x) la derivada de f(x) =>   -   f '(x) > 0 => f(x) crece
                                               \
                                                  f '(x) < 0 => f(x) decrece

Todo comienza en f '(x)=0, así que derivamos la función como cociente que es [procedimiento muy distinto de L'Hopital).]
                            e^x(x²+e^x) - e^x(2x+e^x)                                                                       
                  f '(x) = ----------------------                                          Ahora hacemos f '(x) = 0
                                 (x² + e^x)²

e^x(x²+e^x) - e^x(2x+e^x)                                e^x(x²-2x)
--------------------- = 0            =>       ---------------- = 0  =>   e^x(x²-2x) = 0 (sólo depende del numerador)
      (x² + e^x)²                                           (x²+e^x)²


                                                   e^x = 0, que no tiene solución.
                                                /  
Por ser un producto igual a cero, es       o bien:                                x₀ = 0
                                                \                                          /
                                                   x²-2x = 0  =>  x(x-2)=0 =>
                                                                                           \
                                                                                              x₁ = 2

x=0, x=2 son posibles extremos. Para decidirlo, necesitamos conocer dónde crece/decrece la función. Así que proseguimos con la monotonía y luego retomaremos estos valores.

Estudio de f '(x)>0 y f '(x)<0 , esto es, dónde f '(x) es positiva y dónde negativa:

Formamos una tabla de signos para f '(x). Entre -∞ y +∞ intercalamos en orden los valores aislados apartados del dominio (ninguno) y los posibles extremos relativos (0 y 2). Así compartimentamos en tramos el estudio del signo: desde -∞ hasta 0, desde 0 hasta 2 y desde 2 a +∞.
Pero tenemos que f '(x) es una fracción con denominador siempre + por ser un cuadrado: (2x+e^x)² . Luego el signo de f '(x) depende exclusivamente de su numerador:
e^x(x²-2x) = e^x·x·(x-2) . de estos factores, e^x será siempre +, pero x y x-2 pueden cambiar su signo según el valor que tome x [recordemos que a x, por el dominio ℝ, puede dársele cualquier valor]. Todo se reduce a estudiar el signo de x y de x-2.

                                                      -∞        0        2       +∞
                                                   x:        -        +        +
                                                 x-2:       -        -        +
                                                 ------------------------------
                                                f '(x):      +          -          +  

Es decir, entre -∞ y 0 se ha dado un valor cualquiera a x y debe ser -; entre 0 y 2 ya será +, y de 2 en adelante seguirá +.
Para x-2, un valor cualquiera de x hace todo x-2 negativo, sigue - entre 0 y 2, y ya será + de 2 en adelante. Como x y x-2 se están multiplicando, multiplicamos sus signos, que serán los definitivos de f '(x).

Por tanto, f '(x) > 0 en (-∞ , 0) U (2 , +∞) y, por tanto, f(x) es CRECIENTE en dichos intervalos.
              f '(x) < 0 en (0 , 2): f(x) es DECRECIENTE en (0 , 2).

Por último, retomamos los posibles extremos x₀=0, x₁=2.
Lo primero, en ellos puede haber máx o mín por estar ambos permitidos por el dominio.
Como por la izda de 0 f(x) crece y por la dcha de 0 decrece, en x=0 hay un máximo.
Como por la izda de 2 f(x) decrece y por la dcha crece, en x=2 hay un mínimo.
Este es el criterio de la derivada primera.

Ahora bien, un máximo y un mínimo son puntos ordinarios de la función. Tenemos sus abcisas (x=0, x=2), pero queremos las ordenadas "y" correspondientes. Por supuesto las pedimos a y=f(x) como "y" que son, nunca a y'=f '(x) (daría un bonito 0 obligatoriamente, ¿no?).

Entonces: f(0)= e⁰/(0²+e⁰)= 1/1 = 1 => MÁXIMO en (0 , 1).
              f(2)= e²/(2²+e²) = e²/(4+e²) (≈0,65) => MÍNIMO en (2 , e²/(4+e²)).

Y eso es todo. Dime si eso.
¡Hale, venga!

Perdonad si puse mal la funcion y eso =S es que tenia mucha prisa de veras..que tengo el examen dentro de poco!
Pero Muchas gracias a todos!!!de verdad!!!=D